Se puede vender vivienda que disfruta en usufructo

Voy a contestar a su pregunta empezando por el final.
Cuando falleció su abuelo, entiendo que hizo el testamento llamado comúnmente conocido por el uno para el otro y luego para los hijos; pero esto no es cierto, el piso, que es ganancial, queda como sigue: una mitad para la abuela, pues ello compró esa mitad, y de la otra mitad del abuelo, el usufructo para la abuela y la nuda propiedad para los hijos.
Al fallecer la abuela, es cuando se hereda su mitad del piso que ya compró y que le corresponde en pago de sus gananciales; y sobre esa mitad, por lo que cuenta, es de los tres hijos, pero con un usufructo a favor de uno de ellos; no sé si ese usufructo a favor del hijo viene renocido en el testamento de la abuela como tal o no; si no está reconocido como tal en el testamento, no existe como tal ese usufructo, sino un permiso de todos los propietarios para que uno de ellos viva; si viene reconocido en el testamento, es un derecho que se puede vender, como usted pregunta, pero el precio no es repartible a partes iguales, pues hay uno de los hijos que tiene algo más que los otros dos.
Para vender, si este señor es esquizofrénico y veo que está incapacitado o en proceso, no van a poder firmar la venta ante notario; lo que tienen que hacer es incapacitarlo y el tutor es el que puede vender por este señor; también tenga en cuenta que la venta de un piso o parte del mismo por un incapaz está sujeta a autorización judicial.
En cuanto a que su padre no hereda nada se equivoca; sí que ha heredado, pero con una carga que es el usufructo de un hermano; ahora bien, le insisto que este derecho debería estar recogido en el testamento; también le digo que la legítima de los hijos no puede verse disminuido por ninguna carga, como lo es el usufructo y si no hay más bienes en la herencia de la abuela, se puede estar perjudicando la legítima de los otros hijos no usufructuarios. Así como también heredó, o tenía derecho a heredar, cuando falleció el abuelo antes.
Los gastos del inmueble que enumera son del usufructuario; eso siempre que sea un derecho reconocido como tal en el testamento y da lo mismo que el usufructuario habite o no la vivienda, pues legalmente le corresponden; si no es reconocido en el testamento ese usufructo, todos son propietarios por partes iguales, y en esa proporción deben de contribuir a esos cargos, aunque moralmente debería correr con ellos quien la habite, pero si ahora no la habita nadie,,,,,,,,, entonces el deber moral desaparece.
Y en cuanto al nombramiento de tutor, paralizar la incapacitación de este señor, a lo mejor están pensando en ustedes y no en este señor; y perdone que sea tan directo, pero mi intención no es ofenderle, creame. Deben de desbloquear ese asunto ya; cabe la posibilidad de nombrar tutores mancomunados, que significa que por ejemplo dos personas tienen el cargo de tutor y deben de actuar conjuntamente. Luego, también el tutor tiene una responsabilidad, y tiene que pasar anualmente sus cuentas al juez, con lo que tiene las suficientes garantías para que no exista ningún abuso.
Reciba saludos cordiales.

Muchas gracias por la respuesta, sólo unas dudas:
Mi padre, ¿está obligado a pagar ahora los derechos de sucesión (se llaman así?), ¿Aunque no pueda disfrutar de la herencia y de verse perjudicada como dice su legítima?. Vivimos en Asturias.
Otra cuestión. El usufructo sí viene reflejado en el testamento. Tutor legal tiene desde hace años, es el hermano de la fallecida y precisamente fue él el que orquestó ese testamento. Ese señor poco a poco mediante engaños que ahora no vienen al caso, y la poca picardía e inocencia de mi padre y mi tío, se fue quedando con todo el patrimonio que pertenecía a mi abuelo y como pudimos comprobar en el registro, toda la herencia de sus padres, figura a su nombre, y a mi abuela no le tocó ni la legítima (supongo que la habrá hecho firmar un poder notarial o una renuncia a la herencia, porque en el registro está todo legal). El caso es que es una persona muy manipuladora que lleva interfiriendo desde que murió mi abuelo (yo ni había nacido) y la sospecha que tenemos es que mi tío (el beneficiario del usufructo) tenga testamento a favor de él y que lo que pretenda es beneficiarse él, porque ya le digo que es una persona que no da puntada sin hilo. ¿Es posible que tenga testamento a favor de él?
Muchas gracias de nuevo