Despido por falta muy grave falsa

Me han dado una carta de despido donde se han inventado los hechos por los que me despiden.
Mi mujer compro y pago en mi hipermercado una televisión que estaba etiquetada con un precio erróneo, exigiendo el precio que ponía en la etiqueta.
Yo la acompañaba ya que era mi día libre, aunque trabajo como jefe de una sección colindante con la de televisiones en ese hiper, y trate de convencerla de que podía meter en un lio a mi compañero, jefe de la sección de televisiones, y al vendedor que nos la estaba vendiendo y nos decía que el precio estaba mal.
El vendedor dejaba todo bajo mi responsabilidad por que sabe que soy compañero de su jefe, pero yo me negué, y al no poder convencer a mi mujer de esperar al lunes para comprar la tele, les dije que no quería saber nada, que el problema es entre el vendedor y su cliente que no soy yo, y me fui de la sección cabreado con mi mujer por insistir, pero sabiendo que tiene razón como cliente, y diciéndola que como el precio este mal, la vamos a devolver el lunes se ponga como se ponga, que a mi compañero no le voy a crear un marrón.
No estuve presente en la compra, ni en el cobro, solo recogí la tele con mi coche cuando los vendedores nos la sacaron, y le pregunte a mi mujer cuanto había pagado al final, si el precio que marcaba 899, o el que el vendedor decía era correcto 1299
Me dijo que 899, que no habían llamado a nadie para cambiar el precio y que no había habido ningún problema en caja. Por lo que me contaba el precio correcto es 899.
Aun así intento comprobar el lunes el precio, y veo que en vez de vender la tele que compramos, consta que se vendió otra diferente, a 899. Llamo a mi mujer para que mire el tiquet, y en efecto dice que la tele esta equivocada, que no pone la compro, sino otro modelo distinto.
Hablo con el vendedor y le digo que han vendido mal la tele, que no han cobrado la que se llevo mi mujer, y me dice que el le dio la etiqueta a la cajera, que ella habrá cobrado mal.
Resumiendo, ahora me acusan a mi de haber comunicado al vendededor (Acompañado de mi esposa) que me quería llevar la tele cara al precio de la barata, que a pesar de su negativa y aprovechándome de mi superioridad jerárquica le conminé a realizar la venta con el código ean barato, llevándome la tele del código ean caro. Vulnerando artículos 64.2 y 64.13 del convenio grandes almacenes y despidiéndome por falta muy grave.
Y yo estaba a más de 30 metros de distancia y 5 pasillos por medio jugando una partida al FIFA 09 con dos chavales en la play antes de que nadie tocara la tele, y menos aun cobrarla. No la toque hasta que la sacaron por la puerta de descarga y la metí en el coche, comprada y pagada por mi mujer.
Que pasos sigo para conseguir que desaparezca esa mancha en mi expediente, ya que soy un profesional y no pienso consentir que se ponga en duda mi honradez mintiendo de esa manera.
Ya he firmado la carta de despido poniendo no conforme, pero sin poner la fecha. (Venia puesta correctamente). No he firmado el finiquito porque me negué, ya que tras ver la carta no me fio ni un pelo.
Estoy contactando con sindicatos a ver que opciones tengo, pero sobre todo quiero saber que tengo que hacer para conseguir que el despido no sea por ninguna falta, ya que creo que no he fallado en mi trabajo de ninguna manera, al margen de que mi intención siempre fue la de devolver la tele en caso de un error de precio.
De mi jefe salieron las palabras de que mi mujer, por ser mi mujer, no es un cliente normal y no tiene los mismos derechos. Que tendría que saber que eso mi mujer no lo puede hacer, aunque luego digan que lo hice yo y encima coaccionando al vendedor y a la cajera.
Perdón por el tocho, muchas gracias por la ayuda. Muy buena página web y estoy buscando el libro que recomiendas en librerías y bibliotecas.