Cambio de contrato obra y servicio a tiempo parcial

Si firmas un contrato indefinida pasarás a estar "fija" o todo lo fijo que se puede estar en una empresa privada. La antigüedad te la mantendrán o no, dependiendo de las condiciones que se hayan negociado pero una subrogación de contrato mantiene la antigüedad. Otra cosa es que cesen el contrato por obra y servicio y firmen uno nuevo indefinido que entonces no la mantendrías pero no creo que sea eso lo que hagan porque podrían haberos ofrecido entonces un contrato temporal. Lee el contrato antes de firmar o, incluso, puedes pedir la copia y hablarlo con tu sindicato o tu abogado antes de firmar, es un derecho de los trabajadores (pedir asesoramiento antes de firmar un papel).
Con respecto al centro de trabajo, si la empresa que te tiene contratada se va del mismo podrán llevarte con ellos, aunque depende también de muchas cosas, ya que a veces se traspasa el servicio y el personal y otras veces no. En esos casos o te despiden con su correspondiente indemnización o te trasladan a otro puesto de trabajo. Desgraciadamente las empresas de servicios no ofrecen más estabilidad que esa.
De todas formas te aconsejo que comentes tus dudas con la empresa porque ellos te explicarán sus intenciones y, si te lo pueden dar por escrito, mejor, porque muchas veces los contratos son modelos básicos para entregar al inem y no reflejan todos estos puntos.