Jurisdicción competente

Buenos días, quería plantearle una cuestión,
Pareja de hecho formada por español y chilena-italiana que establecen su domicilio en Castellón, tienen un hijo y se rompe la relación afectiva. Ella se marcha a residir a Argentina con el menor, con el consentimiento del padre. Ahora se proponen regularizar la situación respecto al menor. ¿Son competentes los juzgados españoles? En caso de presentarse la demanda en Argentina, la sentencia que se dicte tengo entendido que será reconocida en España por el procedimiento exequator, ¿estoy en lo cierto?
Gracias por su tiempo.