¿Si estoy de baja me pueden despedir?

Llevo arrastrando desde hace un mes, una contractura en el cuello que me esta provocando vértigos, y a su vez insomnio. Esto ha provocado que algunos días me haya dormido y haya llegado tarde a trabajar, y en otras ocasiones no he podido ni siquiera ir porque estaba deprimido y sin fuerzas... Todas las faltas han sido justificadas salvo 3 que me las consideraron absentismo.
La cosa empezó a empeorar y los vértigos aumentaron, entonces fui un lunes al medico y me volvió a recomendar dos días de reposo, el miércoles seguía mal y no me dieron cita, entonces tuve que ir el jueves. Ese mismo día me llamaron del trabajo diciéndome que era el cuarto día y que sino tenia una baja medica me enviarían el burofax.
Yo no tenia ni idea de como funcionaba todo esto, ya que tengo 22años y tampoco tengo mucha experiencia laboral... Pero fui a la cita que tenia con el medico, y lógicamente me dio la baja, con fecha de el lunes y la confirmación del cuarto día que era ese jueves, él me aconsejo que se la enviará por fax ya que si ese día no la tenían, podrían despedirme...
Así lo hice, nada más salir del medico llamé a mi empresa para que me dieran el numero de fax, me lo facilitaron y lo envié. De hecho ellos me dijeron que lo enviara... Pues de esto hace 5 días, yo ya me despreocupe del asunto y me he preocupado de ponerme bien... Y hoy me ha llegado el burofax, no lo tengo en mi poder, ya que tengo que ir a la oficina de correos a por el, porque debió venir el cartero cuando yo estaba durmiendo y con mi sueño profundo no me enteré...
Entonces mi pregunta es ¿pueden despedirme? ¿Me tendrían que indemnizar? ¿Puedo recurrir a algún sindicato? ¿Y si sigo malo de baja por más tiempo que pasa? ¿Me quedo sin trabajar y por tanto sin comer?
Gracas si me podéis ayudar!