Rienmann-Stieltjes Integral

Contesto conla esperanza de que se deshaga el entuerto. Si no lo dejaré definitivamente, ese millón de puntos entre lo que me han quitado y añadido a los otros es el equivalente a un año de trabajo sin parar, no estoy dispuesto a perderlo por un abuso, fallo o como lo quieras llamar.

Pues me parece que este ejercicio es bastante claro, aunque hay que dar todos los pasos correctamente.

$$\begin{align}&\sum_{k=1}^{\infty}b_k\\ &tomamos\\ &g(x) =b_k \:para\; k-1\lt x\le k\\ &\\ &\sum_{k=1}^{\infty}b_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n b_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^ng(k)=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n g(k)\left(k-(k-1)\right)=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k g(k)dx=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k g(x)dx=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int_{k-1}^k 1·dg(x)=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\int_0^n1·dg(x)=\\ &\\ &\int_0^{\infty}1·dg(x)\end{align}$$

Y eso es todo, yo creo que en el enunciado se pasaron al poner lo primero de la igualdad solamente integral entre a e infinito, habria que haber puesto integral entre a e infinito de f·dg(x), se lo habrán comido.