Demostrar la siguiente igualdad
Muestra que si es una variable aleatoria continua integrable, entonces:
$$\begin{align}&E[X|Ω]=E(X)\end{align}$$Como sugerencia nos dicen que:
$$\begin{align}&∫_Ω▒〖X dP=EX〗\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
Si X es una variable discreta la definición de esperanza condicionada es
$$\begin{align}&E[X|B]=\frac{E[X·I_B]}{P(B)}, P(B)\gt0\\ &\\ &donde\\ &\\ &I_B(w) = 1\; si\; w\in B, \quad0\;si\;w\notin B\\ &\\ &\\ &Si\; B=\Omega \implies P(\Omega)=1, \quad I_{\Omega}(w)=1\; \forall w\in\Omega\\ &\\ &E[X|\Omega]=\frac{E(X·1)}{1}=E(X)E(1)=E(X)·1=E(X)\end{align}$$Y si X es una variable continua la defincicón es:
$$\begin{align}&E[X|B]=\frac{1}{P(B)}\int_B Xdp\\ &\\ &si\; B=W \implies P(W)=1\\ &\\ &\text{Y por lo que nos dicen}\\ &\\ &\int_{\Omega}XdP=E(X)\\ &\\ &con lo cual\\ &\\ &E[X|\Omega]=\frac 11·E(X) = E(X)\end{align}$$Y eso es todo.
