Dados los vectores en R^4 Hallar una base y la dimensión
Dados los vectores en R^4: u=(2,1,1,0) v=(1,3,2,-1) z=(1,1,-2,2) w=(0,1-1,2)
si S=gen(u,v) y T=gen(z,w) hallar una base y dimensión para S∩T y S+T
1 Respuesta
Un elemento de S será
a(2,1,1,0) + b(1,3,2-1)
Y uno de T
c(1,1,-2,2) + d(1,1,-1,2)
Si algún vector pertenece a S y T tendremos
2a+b = c+d
a+3b = c+d
a+2b = -2c-d
-b = 2c+2d
Y esto se resuelva de la forma que mejor se pueda, en esta página da muy poco gusto trabajar con matrices.
igualando primera y segunda
2a+b = a + 3b
a = 2b
quedan estas tres ecuaciones
5b = c+d
4b = -2c-d
-b = 2c+2d
despejando b en la última b = -2c-2d y sustituimos en primera y segunda
-10c-10d = c+d ==> -11c = 11d ==> c=-d
-8c-8d = -2c-d ==> 8d-8d = 2d-d ==> d=0
y entonces c=-d=0
b = -2c-2d = 0
a = 2b = 0
Luego la solución es a=b=c=d=0
y el único vector común es
0·(2,1,1,0) + 0·(1,3,2-1) = (0,0,0,0)
Luego S∩T = vacío. Tiene dimensión 0 y no tiene base
Entonces la suma directa es todo el espació y puedes tomar como base
{u, v, w, z}
O la base canónica o cualquiera de R4.
Y eso es todo.
