Determina el dominio y convergencia
Determina el dominio y la función a la que converge la serie:
$$\begin{align}&∑desde(n=0) hasta ∞〖Re (1/(1-e^iz )) 〗\end{align}$$La fórmula anterior dice: La sumatoria desde n=0 hasta infinito de Re(1/1- e (elevada a la iz)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
Sea z = x + iy
$$\begin{align}&\frac 1{1-e^{iz}}= \frac{1}{1-e^{ix-y}}= \frac{1}{1-\frac{e^{ix}}{e^{y}}}=\\ & \\ & \frac {e^{y}}{e^{y}-cosx -isenx}=\\ & \\ & \frac{e^{y}\left( e^{y}-cosx+isenx \right)}{(e^{y}-cosx)^2+sen^2x}=\\ & \\ & \frac{e^{2y}-e^y cosx+i·e^{y}senx}{e^{2y}-2e^{y}cosx+1}\\ & \\ & Re\left(\frac 1{1-e^{iz}}\right)= \frac{e^{2y}-e^y cosx}{e^{2y}-2e^{y}cosx+1}\end{align}$$La suma de infinitas veces la misma cantidad solo convergerá si dicha cantidad es 0
$$\begin{align}&e^{2y}-e^y cosx=0\\ &e^y -cosx = 0\\ &e^y = cosx\\ &y =ln(cosx)\\ &\\ &\text{luego convergera en los puntos de la forma}\\ &\\ &z=x +i·ln(cosx)\end{align}$$Y convergerá a la función nula en esos puntos.
Y eso es todo.
Amo Mo!
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