Calculo integral utilizando la integración por partes
Sea
$$\begin{align}&f:[a,b]\implies R\end{align}$$
una funcion continua y diferenciable tales que
$$\begin{align}&f(a)=f(b)=0\end{align}$$
y
$$\begin{align}&\int_{a}^{b} f(x)^2=1\end{align}$$
demuestra que
$$\begin{align}&\int_{a}^{b} xf(x)f´(x)dx=-\frac{1}{2}\end{align}$$
Sugerencia utilizar el teorema de integración por partes con
$$\begin{align}&f(x)=x\\ &g´(x)=f(x)f´(x)\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si nos dan una sugerencia tan concreta habrá que usarla.
$$\begin{align}&\int_{a}^{b} xf(x)f´(x)dx=\\ &\\ &u=x\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad du= dx\\ &\\ &dv=f(x)·f'(x)dx\quad v= \frac{[f(x)]^2}{2}\\ &\\ &\left.x \frac{[f(x)]^2}{2}\right|_a^b- \int_a^b \frac{[f(x)]^2}{2}dx=\\ &\\ &b \frac{[f(b)]^2}{2}-a \frac{[f(a)]^2}{2} -\frac 12 \int_a^b [f(x)]^2dx=\\ &\\ &\text{Como f(a)=f(b)=0 y esa integral vale 1}\\ &\\ &0-0-\frac 12·1=-\frac 12\end{align}$$Y eso es todo.
