Resolver por fracciones parciales

Jacarcan Can!

Vamos a ver primero como son las raíces del denominador.

$$\begin{align}&x^4+5x^2+4=0\\ &\\ &\text{Es una bicuadrada}\\ &\\ &x^2 = \frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{2}=-1\; y\; -4\end{align}$$

Pues ya se ve que van a ser complejas, luego lo dejamos en producto de polinomios de grado 2

x^4 + 5x^2 +4 = (x^2 + 1)(x^2 + 4)

$$\begin{align}&\frac{x^3-2x^2+x+1}{x^4+5x^2+4}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx+d}{x^2+4}\\ &\\ &x^3-2x^2+x+1=(ax+b)(x^2+4)+(cx+d)(x^2+1)=\\ &\\ &(a+b)x^3+(b+d)x^2+(4a+c)x+4b+d\\ &\\ &a+c=1\\ &b+d=-2\\ &4a+c=1\\ &4b+d=1\\ &\\ &\text{de la primera y tercera se deduce}\\ &a+c=4a+c\implies a=4a \implies a=0,c=1\\ &\\ &\text {de la segunda y cuarta}\\ &-2-b=1-4b\implies 3b=3\implies b=1,d=-3\\ &\\ &\text{y la integral es}\\ &\\ &\int{\frac{dx}{x^2+1}}+\int \frac{x-3}{x^2+4}dx=\\ &\\ &arctgx +\int \frac{x}{x^2+4}dx-3\int \frac{dx}{x^2+4}=\\ &\\ &arctgx +\frac 12\int \frac{2x}{x^2+4}dx-\frac 34\int \frac{dx}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}=\\ &\\ &arctgx +\frac 12ln(x^2+4)-\frac 34·2\int \frac{\frac 12}{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}dx=\\ &\\ &arctgx +\frac 12ln(x^2+4)-\frac 32arctg \frac x2+C\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.