Integral por cualquier metodo

Jacarcan can!

Como integral racional no directa la descompondremos en fracciones simples

Se ve a distancia que 2 es un raíz y habria que dividir entre (x-2)

Si conoces la fórmula ciclotómica

$$\begin{align}&a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+···+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ & \\ & \text{se deduce}\\ & x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\end{align}$$

Y el segundo factor es un polinomio irreducible en los reales ya que su discriminante es -12

$$\begin{align}&\frac{1}{x^3-8}=\frac {a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^2+2x+4}\\ &   \\ &   \\ &   1= a(x^2+2x+4)+(bx+c)(x-2)\\ &   1=(a+b)x^2+(2a-2b+c)x+4a-2c\\ &   a+b=0\implies b=-a\\ &   2a-2b+c=0\implies 2a+2a=-c\implies 4a=-c\\ &   4a-2c=1 \implies -c-2c =1\implies \\ &  c=-\frac 13,a=\frac 1{12},b=-\frac 1{12}\\ &  \\ &  I=\frac 1{12}\int \frac {dx}{x-2}-\frac{1}{12}\int \frac{x dx}{x^2+2x+4}-\frac 13\int \frac{dx}{x^2+2x+4}=\\ &  \\ &  \frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{24}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+4}+\\ &  \\ &  \frac{1}{24}\int \frac{2\;dx}{x^2+2x+4}-\frac{1}{24}\int \frac{8\;dx}{x^2+2x+4}=\\ &  \\ &  \frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln(x^2+2x+4)}{24}-\frac 14\int \frac{dx}{x^2+2x+4}\end{align}$$

Dejamos aparcado todo lo resuelto y nos centramos en la integral que queda que tiene su miga
Completamos cuadrados en el denominador

$$\begin{align}&x^2+2x+4 = (x+1)^2 +3=\\ &\\ &3\left(1 +\left( \frac{x+1}{\sqrt 3}\right)^2 \right)\\ &\\ &\text{lo que queda es}\\ &\\ &\int \frac{dx}{x^2+2x+4}=\frac 13\int \frac{dx}{1 +\left( \frac{x+1}{\sqrt 3}\right)^2}=\\ &\\ &\frac{\sqrt 3}{3}\int \frac{\frac{1}{\sqrt 3}dx}{1 +\left( \frac{x+1}{\sqrt 3}\right)^2}=\frac{\sqrt 3}{3} arctg\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)\end{align}$$

Y si no me he equivovado, la integral completa es

$$\begin{align}&I=\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln(x^2+2x+4)}{24}-\frac {\sqrt 3}{12}arctg\left( \frac{x+1}{\sqrt 3} \right)+C\end{align}$$

Y eso es todo.