Calculo de integral, medida de Lebesgue
Buenas tardes experto, espero pueda ayudarme con este problema. Gracias.
Saludos valeroasm y gracias.
Juan Pérez!
Primero calculamos la integral siendo y una constante
$$\begin{align}&\int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx =\\ & \\ & \text {descomponemos en fracciones simples por el método de Hermite}\\ & \\ & \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}= \frac{ax+b}{x^2+y^2}+\frac {d \left( \frac{cx+d}{x^2+y^2} \right)}{dx}=\\ & \\ & \frac{ax+b}{x^2+y^2}+\frac{c(x^2+y^2)-2x(cx+d)}{(x^2+y^2)^2}\implies\\ & \\ & x^2-y^2=(ax+b)(x^2+y^2)+cx^2+cy^2-2cx^2-2dx\\ & \\ & x^2-y^2=ax^3+(b-c)x^2+(ay^2-2d)x+(b+c)y^2\\ & \\ & \text{Se deducen esta igualdades}\\ & \\ & a=0\\ & b-c=1\\ & ay^2-2d=0 \implies -2d=0\implies d=0\\ & (b+c)y^2=-y^2 \implies b+c=-1\\ & \text{sumando segunda y cuarta}\\ & 2b=0 \implies b=0\implies c=-1\\ & \\ & \text{con lo cual solo sirve c y queda esto}\\ & \\ & \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx =\int_0^1 \frac {d}{dx}\left(\frac{-x}{x^2+y^2}\right)dx=\\ & \\ & \left.-\frac{x}{x^2+y^2}\right|_0^1=-\frac {1}{1+y^2}+\frac {0}{y^2}=-\frac{1}{y^2+1}\end{align}$$Y este resultado está siempre definido sea cual sea el valor de y.
¡Uff! EL método de Hermite puede que no lo utilizara desde hace 33 años o si acaso una sola vez en 33 años y no me acordaba de nada.
No sé si te pedían demostrarlo así o de alguna manera más teórica. Aunque estos cálculos vienen bien después.
Por analogía de la variable x con (-y), y viceversa, la integral indefinida respecto de y es
y / (y^2-x^2)
y la definida es
1/(x^2+1)
Que también esta definida para cualquier valor de x.
Eso lo puedes comprobar facilmente que es verdad, yo ya no vuelvo a hacer otro Hermite mientras no sea necesario.
Y las integrales dobles aunque sean en RxR solo tienen chicha en [0,1]x[0,1] luego esos serán sus límites de integración
Aprovecharemos los resultados obtenidos anteriormente
$$\begin{align}&\int_0^1\int_0^1 \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dxdy=\\ & \\ & \int_0^1-\frac{1}{y^2+1}dy=\\ & \\ & \left.-arctg\, y\; \right|_0^1=-\frac{\pi}{2}+0=-\frac{\pi}{2}\\ &\\ &\\ &\int_0^1\int_0^1 \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dydx=\\ & \\ & \int_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\\ & \\ & \left.arctg\, x\; \right|_0^1=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\\ & \end{align}$$Luego las dos integrales son distintas, son opuestas.
Y eso es todo.
¡Ah! Se me olvido el apartado b, lógico después de lo que tuve que repasar para hacer el apartado 1.
No es integrable en R2. Esto dice la Wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple#Integrales_m.C3.BAltiples_e_Integrales_iteradas
La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble.
Y eso es todo.
