Determine un serie de potencia para la función :

Nashely Mogrovejo!

La serie de MacLaurin es con centro en x=0

Calculamos el valor de la función y las derivadas en x=0

f(0) = log(1) = 0

f '(x) = 1/(1+x)  ==>  f '(0) = 1

f ''(x) = -1/(1+x)^2  ==>  f ''(0) = -1

f '''(x) = 1/(1+x)^3  ==>  f '''(0) = 1

y la derivada enésima es

fn(x) = (-1)^(n-1) / (1+x)^n  ==> implies fn(0) = (-1)^(n-1)

Luego simplemente va cambiando de signo.

Y la serie es

$$\begin{align}&log(1+x) = 0+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-\frac{x^4}{24}+....\\ &\\ &log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}·\frac{x^n}{n!}\end{align}$$

La serie de Taylor es para cualquier centro, llamémoslo a.

Como el logaritmo natural solo está definido para números positivos debe er a>0

f(a) = log(1+a)

f '(x) =1/(1+x)  ==> f '(a) = 1/(1+a)

f ''(x) = -1/(1+x)^2  ==> f ''(a) = -1/(1+a)^2

....

fn(x) = (-1)^(n-1) / (1ax)^n  ==>   fn(a) = (-1)^(n-1) / (1+a)^n

$$\begin{align}&log(1+x) = log(1+a)+\frac{x-a}{1+a}-\frac{(x-a)^2}{2(1+a)^2} +···+(-1)^{n-1}\frac{(x-a)^n}{n!(1+a)^n}\\ &\\ &log(1+x)=log(1+a)+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} ·\frac{(x-a)^n}{n!(1+a)^n}\end{align}$$

Y eso es todo.