Preguntas de análisis matemático I.
Sea una función real que es continua en el intervalo cerrado [a,b] .
- Muestra que siempre que demos una sucesión de Cauchy en [a,b] , necesariamente la sucesión de las imágenes es una sucesión convergente.
1 Respuesta
Hay un teorema que dice que un conjunto cerrado dentro de un espacio completo es un espacio completo. Luego [a, b] es un espacio completo. Y en un espacio métrico completo toda sucesión de cauchy es convergente, luego existirá L € [a, b] tal que
L = lim n-->oo de xn
Veamos que f(L) es el límite de la sucesión f(x1), f(x2), ..., f(xn),...
Por ser f continua en L
Dado epsilon>0 existe delta>0 tal que si 0<|x-L|<delta entonces |f(x)-f(L)| < epsilon
Y por ser xn convergente a L
Existe M € N tal que para todo n>M se cumple |xn - L| < delta
Luego combinando ambas cosas, dado un epsilon>0 existe un M € N tal que |xn-L| < delta, luego
|f(xn)-f(L)|<epsilon
Lo cual significa que f(L) es el límite de la sucesión f(xn), luego la sucesión de las imágenes es convergente.
