Calcular el área del paraboloide generado por la ecuación:

El área generada por una curva girando alrededor del eje Y es

$$\begin{align}&A=2\pi\int_{y_1}^{y_2}x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy\end{align}$$

Luego debes expresar la función como una función de y

$$\begin{align}&y= x^2 / 10\\ &  \\ &  x = \sqrt{10y}\\ &  \\ &  \frac{dx}{dy}=\frac{5}{\sqrt{10y}}\\ &  \\ &  \text{El limite inferior es y=0}\\ &  \\ &  A=2\pi \int_0^{y_2} \sqrt{10y}\sqrt{1+\frac{25}{10y}}\;dy=\\ &  \\ &  2\pi\int_0^{y_2}\sqrt{10y+25}\;dy=\\ &  \\ &  2\pi\int (10y+25)^{1/2}dy=\\ &  \\ &  \left.2\pi \frac{(10y+25)^{3/2}}{\frac 32}·\frac 1{10}\right|_0^{y_2}=\\ &  \\ &  \left.\frac{2\pi}{15}(10y+25)^{3/2}\right|_0^{y_2}=\\ &  \\ &  \frac {2\pi}{15}\left[(10y_2+25)^{3/2}-25^{3/2}\right] =\\ &  \\ &  \frac {2\pi}{15}\left[\sqrt{(10y_2+25)^3}  -125\right]\end{align}$$

Esa es la superficie del paraboloide cuya altura es y_2
Calculemos la altura correspondiente a un diámetro 1, que significa radio 1/2

y = (1/2)^2/10 = 1/40

Luego para y_2=1/40 la superficie sería

$$\begin{align}&\frac {2\pi}{15}\left[\sqrt{\left(10·\frac{1}{40}+25\right)^3}  -125\right]=\\ & \\ & \frac {2\pi}{15}\left[\sqrt{\frac{101^3}{4^3}} -125 \right]=\\ & \\ & \frac {2\pi}{120}(101 \sqrt{101}-1000)=\\ & \\ & \frac{\pi(101 \sqrt {101} - 1000)}{60}\approx \\ &\\ &0.2506239622\pi\approx 0.7873583985\end{align}$$

Y eso es todo.