¿Cómo hallar las asíntotas de una Hipérbola?

Si con lo que dices sale la ecuación de las asíntotas que directamente puedes decir que son

y=-bx/a

y=bx/a

Cuidado con el significado de b y a. Hay dos ecuaciones ordinarias de hipérbola

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 para la hipérbola con focos en el eje X

y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 para la que tiene los focos en el eje Y

Entonces b es siempre la raíz cuadrada del denominador del término que tiene el signo -, y a es lo mismo para el término positivo.

La asíntota es una recta que va desde el centro de la hipérbola al punto de la hipérbola en el infinito

Partiendo de la ecuación

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

tenemos

$$\begin{align}&\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1= \frac{x^2-a^2}{a^2}\\ &\\ &y^2= \frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)\\ &\\ &y=\pm \frac ba{\sqrt{x^2-a^2}}\\ &\\ &\text{la pendiente de la recta que lleva desde el centro}]\\ &\text{ a un punto de la hipérbola es}\\ &\\ &p=\frac yx = \frac{\pm \frac ba{\sqrt{x^2-a^2}}}{x}\\ &\\ &\text{Cuando x tiende a infinito} tenemos\\ &\\ &p=\lim_{x\to \infty}  \frac{\pm \frac ba{\sqrt{x^2-a^2}}}{x}=\\ &\\ &\lim_{x\to \infty}  \pm \frac ba{\sqrt{\frac{x^2-a^2}{x^2}}}=\\ &\\ &\lim_{x\to \infty}  \pm \frac ba{\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}}=\pm \frac ba \sqrt{1+0}=\pm \frac ba\end{align}$$

Y esas son las dos pendientes posibles para las asíntotas que por pasar por (0,0) tienen esas ecuaciones de recta.  Si el centro no fuese (0,0) la paendiente sería la misma pero habría que adecuar la ecuación de las asíntotas para que pasara por el centro.

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Hay asíntota oblicua cuando el límite en el infinito del cociente de la función entre x es un número finito distinto de 0, ya que si es 0 se considera que asíntota horizontal. Si el límite no existe (normalmente por ser infinito) no hay asíntotas oblicuas.

Luego lo primero que hay que hacer es calcular el límite

$$\begin{align}&\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= m\\ &   \\ &  \end{align}$$

Y si m es un número y es distinto de 0 será la pendiente de la asíntota que será una ecuación de la forma

$$\begin{align}&y=mx+b\\ &\\ &\text{donde b se calcula así}\\ &\\ &b=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-mx]\end{align}$$

Y todo esto que hemos hecho con el límite en más infinito se debe hacer tambíen par el límite en menos infinito, ya que por la izquierda la asíntota puede ser otra distinta o puede haber en un lado y en el otro no.

Y eso es todo.