Problemas de calculo de integrales 1
Dados:
$$\begin{align}&f(x)=1+x^2\end{align}$$Con:
$$\begin{align}&x∈J=[-1,3]\end{align}$$Y sea:
$$\begin{align}&P={-1,((-1)/3),0,1/2,1,2}\end{align}$$Calcula:
$$\begin{align}&U(f,g,P)y L(f,g,P) \end{align}$$Si:
$$\begin{align}&g(x)=x \end{align}$$Y:
$$\begin{align}&g(x)=x^3\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
Por definición
$$\begin{align}&U(f,g,P)= \sum_{k=1}^n sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)·[g(x_k)-g(x_{k-1})]\\ &\\ &L(f,g,P)= \sum_{k=1}^n inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)·[g(x_k)-g(x_{k-1})]\\ &\\ &\text{La particion es }P=\left\{-1,-\frac 13,0,\frac 12,1,2,3\right\}\\ &\\ &x_0=-1\\ &x_1=-\frac 13\\ &....\\ &x_6=3\\ &n=6\\ &\\ &f(x)=1+x^2 \text{ es decreciente en [-1,0) y creciente en [0,3]}\\ &\\ &\\ &Luego\\ &\\ &U(1+x^2, x, P)=(1+1)\left[-\frac 13-(-1)\right]+\left(1+\frac 19\right)\left[0-\left(-\frac 13\right) \right]+\\ &\\ &\left(1+\frac 14 \right)\left(\frac 12-0\right)+\left( 1+1 \right)\left(1-\frac 12 \right)+(1+4)(2-1)+(1+9)(3-2)=\\ &\\ &\frac 43+\frac{10}{27}+\frac 58+1+5+10 = \frac{288+80+135+3456}{216}=\\ &\\ &\frac{3959}{256}\approx15.46484375\\ &\\ &\\ &\\ &L(1+x^2, x, P)=\left(1+\frac 19\right)\left[-\frac 13-(-1)\right]+1·\left[0-\left(-\frac 13\right) \right]+\\ &\\ &1·\left(\frac 12-0\right)+\left( 1+\frac 14 \right)\left(1-\frac 12 \right)+(1+1)(2-1)+(1+4)(3-2)=\\ &\\ &\frac 1{27}+\frac 13+\frac 12+\frac 58+2+5 =\frac{8+72+108+135+1512}{216}=\\ &\\ &\frac{1835}{216}=8.49537037\\ &\\ &\end{align}$$¡Uff, que lío de cuentas! Y el que queda es peor.
