Estadística matemática con aplicaciones 5.75

Son demasiados apartados, si veo que las integrales llevan mucho trabajo lo dejaré a medias y mandas lo que resta en otra pregunta. O bien te doy el resultado sin tener que escribir los pasos, eso es lo más odioso, el tirar de editor de ecuaciones.

a)

$$\begin{align}&E(X+Y)= E(X)+E(Y)=\\ &\\ &\text{ambas hacen igual papel en la función de densidad, luego}\\ &\\ &=2E(X)= 2\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-(x+y)}dydx=\\ &\\ &2\int_0^{\infty}\left.-xe^{-(x+y)}\right|_0^{\infty}dx=\\ &\\ &2\int_0^{\infty}(-xe^{-\infty}+xe^{-x})dx=\\ &\\ &2\int_0^{\infty} xe^{-x}dx=\\ &\\ &u=x\quad\quad\quad du=dx\\ &v=e^{-x}dx\quad v=-e^{-x}\\ &\\ &=-2xe^{-x}|_0^{\infty}+2\int_0^{\infty}e^{-x}dx=\\ &\\ &-0+0-2 e^{-x}|_0^{\infty}= -2(0-e^0) = 2\end{align}$$

V(X+Y) = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 =

E[(X+Y)^2] - 2^2 = E[(X+Y)^2] - 4

y es esa esperanza que hay que calcular la que nos hará llorar

$$\begin{align}&E[(X+Y)^2]=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}(x+y)^2e^{-(x+y)}dy dx=\\ &  \\ &  \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}(x^2+y^2+2xy)e^{-(x+y)}dy dx=\\ &  \\ &  \text {las de } x^2 \;y \;y^2 \text{ dan el mismo resultado}\\ &  \\ &  =2\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}x^2e^{-(x+y)}dy dx+ 2\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xye^{-(x+y)}dy dx\\ &  \\ &  2\int_0^{\infty}\left.-x^2e^{-(x+y)}\right|_0^{\infty} dx+2\int_0^{\infty}x....\end{align}$$

Como decía, es penoso.  No es difícil porque es una integral por partes y al final sale todo, pero que es imposible escribirlo todo aquí, el ordenador se vuelve tortuga a cada caracter que metes en el editor de texto y al final es imposible escribir.

Te doy el resultado:

E[(X+Y)^2] = 2·2 + 2·1 = 6

V(X+Y) = 6-4= 2

b)

P(X-Y>3)

Deberá ser X >3 y Y comprendido entre 0 y X-3

$$\begin{align}&\int_3^{\infty}\int_0^{x-3} e^{-(x+y)}dx=\\ &\\ &\int_3^{\infty} \left.-e^{-(x+y)}\right|_0^{x-3}dx=\\ &\\ &\int_3^{\infty}(-e^{-(2x-3)}+e^{-x})dx=\\ &\\ &\left[\frac{e^{-(2x-3)}}{2}-e^{-x}  \right]_3^{\infty}=\\ &\\ &0-0-\frac{e^{-3}}{2}+e^{-3}=\frac {e^{-3}}2= 0.02489353418\end{align}$$

c)

P(X-Y < -3)

Y debe ser mayor que 3

X debe tomar un valor entre 0 y Y-3

Es exactamente lo mismo que el anterior intercambiando los papeles de X e Y con una función de densidad que es la misma al intercambiarlas, luego es la misma integral y la misma probabilidad

P(X-Y <-3) = 0.02489353418

d)

E(X-Y) = E(X) - E(Y)

Son las mismas, la misma integral sale poniendo x que y multiplicadas por la función de densidad, luego

E(X-Y) = 0

V(X-Y) = E[(X-Y)^2] - [E(X-Y)]^2 =

E(X^2) + E(Y^2) - 2E(XY) - 0^2 =

2E(X^2) - 2E(XY) =

Aunque no las desarrollé dije antes los resultados de estas mismas integrales en el apartado a, y es resultado sería este:

= 2·2 - 2·1 = 4-2 = 2

e)

Pues se observa que lo mismo

V(X+Y) = V(X-Y) = 2

Pero no intentemos averiguar el porqué, simplemente ha habido una conjunción de cuentas complicadas que han dado el mismo resultado.

Y eso es todo.