¿Cómo diagonalizar una matriz con entradas complejas?
Hola Valero
He querido preguntar pero esta página me ha fallado mucho, espero que esta pregunta se pueda enviar. Tengo una matriz con entradas complejas
1 i 0
-1 2 -i
0 1 1
Ahora se tienen que encontrar los valores propios, a mi el polinomio característico ya igualado a cero me da
p(x) = -(x - 2)(x - 1)^2 + i(2 - x) = 0
Aquí surge mi duda. Lo que he hecho fue igualdar parte real e imaginaria a cero.
-(x - 2)(x - 1)^2 + i(2 - x) = 0 + 0i
Igualando, facilmente nos damos cuenta que los valores propios son x1 = 2 y x2 = 1
Ahora tenemos que encontrar los vectores que generan el espacio nulo
(A - xI)(y) = 0
Primero sustituí el valor propio x1 = 2, pero al reducir la matriz, me queda la matriz identidad, por lo que nos damos cuenta que el vector (0, 0, 0) genera al espacio nulo, lo cual seguro me he equivocado, no sé que hacer.
Espero su ayuda.
1 Respuesta
Las matrices complejas se crean sobre el cuerpo de los números complejos y el polinomio característico debe igualarse al 0 de los números complejos 0+0i
|1-x i 0 |
| -1 2-x -i | = 0+0i
| 0 1 1-x|
-------
(1-x)(2-x)(1-x) + i(1-x) + i(1-x) = 0
(1-x) [(2-x)(1-x)+2i] = 0
(1-x)(2-3x +x^2 + 2i) =0
Tenemos el valor propio x1=1
Pero los otros dos son complejos y complejos, valga la redundancia.
$$\begin{align}&x^2-3x+2+2i=0\\ &\\ &x=\frac{3\pm \sqrt{9-8-8i}}{2}=\\ &\\ &\frac{3\pm \sqrt{1-8i}}{2}\end{align}$$Si acaso mira a ver sio me has mandado bien el enunciado, no sea que estemos resolviendo algo distinto.
