Problema polinomios multiplicidades
Tengo que hallar todas las raíces con sus multiplicidades
$$\begin{align}&p(x) = -3x^4 + (21/4)x^3 - (15/4)x^2 + (21/8)x - (9/8)\end{align}$$Saco factor comun 3 , y despues busco raices con gauss , pero no encuentro ninguna me gustaria si es posible que el que responda me nombre los posibles metodos en los que se puede reducir un polinomio, por ejemplo Gauss , Ruffini , etc (solo nombrarlos, asi yo busco info) Por que creo que hay algunos que desconozco , asi puedo buscar mas información en libros e internet :D.
Saludos.
1 Respuesta
Gera Gorgoreti!
A mi me gusta más sacar factor comun (-3) el primer término que quede siempre positivo.
p(x) = -3[x^4 - (7/4)x^3 + (5/4)x^2 - (7/8)x + 3/8]
Y además multiplicaria por 8
p(x) = -(3/8)(8x^4 - 14x^3 + 10x^2 - 7x + 3)
Pero para calcular las raíces no necesitamos el factor común, luego calculamos las raíces de
8x^4 - 14x^3 + 10x^2 - 7x + 3
Las enteras pueden ser {1,-1, 3, -3}
y las fraccionarias esas mismas divididas por 2, 4 u 8.
Eso lo expresamos como
(+-1, +-3) / (1, 2, 4, 8)
Se empieza siempre por las más sencillas y resulta que con el 1 tenemos
8 - 14 + 10 - 7 + 3 = 0
Luego 1 es una raíz
8 -14 10 -7 3 1 8 -6 4 -3 -------------------- 8 -6 4 -3 |0
Y ahora el polinomio es
8x^3 - 6x^2 + 4x - 3
Y como yo ya se las respuestas porque las hice con ordenador, sé que cuesta un poco dar con la siguiente y las otras dos son complejas.
Hay un método (o varios) que ahorran operaciones ya que reducen el conjunto de raíces posibles, pero no se me queda en la memoria y no es muy inmediato.
Mira aquí:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_ra%C3%ADz_racional
Seguramente no podrás pinchar y tendrás que copiar la dirección en el navegador, es un problema de la página.
Lo que viene después de:
En este caso particular hay exactamente una raíz racional. Si un candidato a raíz no satisface la ecuación, puede ser usado para acortar la lista de los candidatos restantes.
Es un tanto oscuro pero es muy interesante y ayuda bastante, lo que pasa es que nunca lo recuerdo de una vez para otra.
Probemos con -1
-8-6-4-3 = -21
sustituyendo x = -1+t pero sin hacerlo en realidad tendríamos
8(-1+t)^3 - 6(-1+t)^2 + 4(-1+t) - 3=
-8 + 24t - 24t^2 + 8t^3 - 6 + 12t - 6t^2 -4 + 4t - 3 =
8t^3 - 30t^2 + 40t - 21= 0
Luego las raices de t serían del tipo
a) t = (+-1, +-3, +-7) / (1, 2, 4,8)
Entonces como
x=-1+t
t = x+1
y x ha quedado en (+-3) / (1, 2, 4, 8)
luego los valores posibles de t son
b) t={4, 2, 5/2, -1/2, 7/4, 1/4, 11/8, 5/8}
Buscamos la intersección de las expresiones de las líneas llamadas a y b
t = {-1/2, 7/4, 1/4}
luego los valores posibles de x son -1+t
x={-3/2, 3/4, -3/4}
Probemos con -3/2 ya que está el primero
8(-3/2)^3 - 6(-3/2)^2 + 4(-3/2) - 3
Todos los términos son negativos nunca podrán ser cero, por lo mismo -3/4 tampoco vale, luego solo queda 3/4, probemos
8(3/4)^3 - 6(3/4)^2 + 4(3/4) - 3 =
8(27/64) - 6(9/16) + 3 - 3=
27/8 - 54/16 = 27/8 - 27/8 = 0
Luego x = 3/4 es la segunda raíz
8 -6 4 -3 3/4 6 0 3 ---------------- 8 0 4 |0
Luego queda
8x^2 + 4
Y este no tiene raíces reales. Sus raíces son
x^2 = -1/2
x = +- sqrt(-1/2) = +- i·sqrt(2)/2
Resumiendo, las raices son
$$\begin{align}&x=\left\{1, \frac 34, \frac{\sqrt 2}{2}i,-\frac {\sqrt 2}{2}i\right\}\end{align}$$Otra cosa interesante para saber si las raíces son positivas o negativas y que en este caso podríamos haber aplicado al principio para saber que no había negativas es la regla de los signos de Descartes.
Y eso es todo.
