Resolver la ecuación encontrando un factor de integración apropiado.
Buenas tardes! Tengo una duda con el factor de integración de la siguiente ecuación:
$$\begin{align}&[y^2(x+1) + y]dx + [2xy+1]dy=0\end{align}$$La resuelvo con el método de 1/N y con 1/M pero en ninguna resulta. ¡Muchas gracias!
Majo Bocanegra!
M = y^2(x+1)+y
N = 2xy+1
Calculamos las derivadas parciales típicas
My = 2y(x+1) + 1 = 2xy + 2y + 1
Nx = 2y
calculamos su diferencia
My - Nx = 2xy + 2y + 1 - 2y = 2xy +1
y vemos que esto es N luego
(My - Nx) / N = (2xy+1) / (2xy+1) = 1
que es una función que no depende de x ypuede calcularse el factor integrante así
$$\begin{align}&\mu(x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}}dx= e^{\int dx}= e^x\\ &\\ &\text{Multiplicamos por el factor integrante}\\ &\\ &e^x[y^2(x+1)+y]dx +e^x(2xy+1)dy = 0\\ &\\ &\text{comprobamos que es diferecial exacta}\\ &\\ &M_y=e^x(2yx+2y+1)\\ &\\ &N_x=e^x(2xy+1)+e^x·2y= e^x(2xy+2y+1)\end{align}$$Y ahora ya tenemos una diferencial exacta. No se si no habías llegado hasta aquí o sí habías llegado y no te sale la continuación. Tu me dirás si necesitas que la termine.
Si pudiera completarla se lo agradecería!
Primero integramos N respecto de y
$$\begin{align}&u(x,y)=\int e^x(2xy+1)dy =e^x(xy^2+y) + \varphi(x)\\ &\\ &\text{lo derivamos respecto de x}\\ &\\ &\frac{\partial u}{\partial x}=e^x(xy^2+y)+e^xy^2 + \varphi'(x)\\ &\\ &\text{y lo igualamos a M}\\ &\\ &e^x(xy^2+y)+e^xy^2 + \varphi'(x)=e^x[y^2(x+1)+y]\\ &\\ &e^xxy^2+e^xy +e^xy^2+\varphi'(x)= e^xxy^2 +e^xy^2+e^xy\\ &\\ &\varphi'(x) = 0\\ &\\ &\varphi(x)= C\\ &\\ &\\ &\text{con lo cual}\\ &\\ &u(x,y)=e^x(xy^2+y) +C = e^xy(xy+1)+C\\ &\\ &\text{y la solución es }u(x,y)=C\\ &\text{agrupando las constantes en una sola}\\ &\\ &e^xy(xy+1)= C\end{align}$$Y eso es todo.
