¿Cual es el valor de a para que se verifique la igualdad de los siguientes limites?

Hay que calcular los dos límites e igualar el resultado

Para obtener la expresión del número e debemos hacer que quede

$$\begin{align}&e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{f(n)}  \right)^{f(n)}\\ &\\ &\frac{n+a}{n+1}= \frac{n+1+a-1}{n+1}=\\ &\\ &\frac{n+1}{n+1}+\frac{a-1}{n+1}=1 +\frac{a-1}{n+1}=1+\frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\\ &\\ &\text{Y el límite de la izquierda es}\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{3n+a}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{\frac{n+1}{a-1}·\frac{a-1}{n+1}·3n+a}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{·\frac{(3n+a)(a-1)}{n+1}}=\\ &\\ &e^{\lim_{n\to \infty}\frac{3(a-1)n+a^2-a}{n+1}}= e^{3(a-1)}\end{align}$$

Y para el límite de la derecha se hace lo mismo

$$\begin{align}&\frac {n+3}{n+2}=1 +\frac 1{n+2}\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{3n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{3n}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{(n+2) ·\frac{3n}{n+2}}=\\ &\\ &e^{\lim_{n\to\infty}\frac{3n}{n+2}}= e^3\\ &\\ &Y ahora igualamos\\ &\\ &e^{3(a-1)}= e^3\\ &\\ &3(a-1) = 3\\ &\\ &a-1=1\\ &\\ &a=2\end{align}$$

Y eso es todo.