Calcular el potencial de una esfera cargada

En un ejercicio anterior calculamos el campo eléctrico generado por una esfera en un punto exterior.

Por el teorema de Gauss

$$\begin{align}&\varPhi=\frac q{\epsilon_0}\\ &  \\ &  \varPhi=\int_S\vec E·d\vec S=\\ &  \\ &  \text {como E era constante en puntos equidistantes}\\ &  \text{del centro y perpendicular a la superficie esférica}\\ &  \\ &  = E\int_S d\vec S= ES=4\pi r^2E\\ &  \\ &  \text{igualando los dos expresiones del flujo}\\ &  \\ &  4\pi r^2E = \frac q{\epsilon_0}\\ &  \\ &  E=\frac{q}{4\pi r^2\epsilon_0}\\ &  \\ &  \text{como vector es}\\ &  \\ &  \vec E=\frac{q}{4\pi r^2\epsilon_0}\vec{u_r}\\ &  \\ &  \text{Y el potencial en un punto exterior a distancia p es}\\ &  \\ &  V(p)=-\int_{\infty}^p \vec E·d\vec r=\\ &  \\ &  \text{tomamos como camino la línea recta, asi E y r son paralelos}\\ &  \\ &  d\vec r=dr\; \vec{u_r}\\ &  \\ &  =-\int_{-\infty}^p \frac{q}{4\pi r^2\epsilon_0}\vec {u_r}·dr\; \vec {u_r}=\\ &  \\ &  como \; \vec{u_r}·\vec{u_r} =1\\ &  \\ &  =-\int_{-\infty}^p \frac{q}{4\pi r^2\epsilon_0}·dr=-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\int_{\infty}^p \frac{dr}{r^2}=\\ &  \\ &   \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left. \frac 1r\right|_{\infty}^p=  \frac{q}{4\pi \epsilon_0\, p}\\ &  \\ &  \text {resumiendo}\\ &  \\ &  V(p)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0\, p}\\ &  \end{align}$$

El punto r que nos dicen se puede considerar exterior, todo el trabajo para llevar a él una carga eléctrica se ha realizado fuera de la esfera y el cálculo que hemos hecho es válido. Ya solo falta sustituir los datos.

$$\begin{align}& V(r)=V(9.3)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0\, 9.3}=\\ &\\ &q=\rho V=1.6 ·\frac 43\pi\; 9.3^3\\ &\\ &\frac{1.6 ·\frac 43\pi\; 9.3^3}{4\pi \epsilon_0\, 9.3}=\frac{1.6·9.3^2}{3\epsilon_0}=\\ &\\ &\frac{46.128}{\epsilon_0}=46.128\times 8.854187817·10^{12}=\\ &\\ &4.084259756·10^{14} V\end{align}$$

Y eso es todo.

El resultado no es correcto debe haber algún error

Dime el resultado, muchas veces están mal. O puede que me haya confundido yo, pero dímelo para ir al grano.

Y asegúrame que

r=1.0R

Significa una vez el radio, es decir, 9.3 m

El resultado correcto es 5.22x10^12.

yo lo habia desarrollado por el teorema de gauss pero no me salia.

He vuelto a operar, siguiendo tus pasos, y el error esta al realizar la ultima operacion.

V=1.6x9.3^2/8.8542x10^-12x3=5.19x10^12