¿Como resolver el siguiente limite notable?

Pues nos dan las identidades triginométricas que hay que usar, veamos si podemos resolverlo. Sabemos perfectamente que ese límite es la derivada de la tangente, luego sabemos el resultado al que debemos llegar.

$$\begin{align}&\lim_{h \to 0} \frac{tg(x+h)-tgx}{h}=\\ & \\ & \lim_{h \to 0} \frac{\frac{tgx+tgh}{1-tgx·tgh}-tgx}{h}=\\ & \\ & \lim_{h\to 0} \frac{\frac{tgx+thg-tgx+tg^2x·tgh}{1-tgx·tgh}}{h}=\\ & \\ & \lim_{h\to 0}\frac{tgh +tg^2x·tgh}{h(1-tgx·tgh)}=\\ & \\ & \lim_{h\to0}\left(\frac{tgh}{h}·\frac{1+tg^2x}{1-tgx·tgh}\right)=\\ & \\ & \lim_{h\to0}\left(\frac{tgh}{h}\right)·\lim_{h\to 0}\left(\frac{1+tg^2x}{1-tgx·tgh}\right)=\end{align}$$

Ahora habría que saber qué límites te han dicho que son notables.  yo creo que

lim h-->0 (tgh/h) = 1 es notable, pero si no lo es, el que si es notable es

lim h-->0 (senh/h) = 1

con lo cual

$$\begin{align}&\lim_{h\to 0} \frac {tgh}h = \lim_{ h\to0} \frac {\frac{senh}{cosh}}{h}= \lim_{ h\to0} \frac{senh}{h·cosh}=\\ &\\ &\left(\lim_{ h\to0} \frac{senh}{h}\right)·\left(\lim_{ h\to0} \frac{1}{cosh}\right)=1·\frac 11=1\\ &\\ & \end{align}$$

Bueno, y ahora volvemos donde había dejado el límite

$$\begin{align}& \lim_{h\to0}\left(\frac{tgh}{h}\right)·\lim_{h\to 0}\left(\frac{1+tg^2x}{1-tgx·tgh}\right)=\\ &\\ &1·\frac{1+tg^2x}{1-0}=\frac{1+tg^2x}{1}=1+tg^2x\end{align}$$

Y yo con con esto ya lo dejaría, yo he usado esa expresión como la derivada de la tangente durante prácticamente toda mi vida.  Solo en estos últimos años al responder preguntas aquí estoy viendo ejercicios donde es útil usar la expresión sec^2(x)

Ya que te han dado la identidad número 2, se supone que quieren que expreses el resultado como sec^2(x)

Y eso es todo.