Calcular el angulo que forman el segmento L y el lado AB
Sea el triangulo que tiene por vértices a los puntos: A(-2, 6, 1), B(7,5, 3, y C(-4, 5, 2) y sea L el segmento de recta que une los puntos medios de los lados AC y BC. Utilizando álgebra vectorial:
a) Calcular el angulo que forman el segmento L y el lado AB.
b) Determinar la relación que existe entre la longitud del segmento L y la longitud del lado AB
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Chapisnat!
Calculamos el vector u=AB
u=(7,5,3) - (-2,6,1) = (9, -1,2)
El punto medio de AC
(1/2)[(-2,6,1)+(-4,5,2)] = (1/2)(-6, 11, 3) = (-3, 11/2, 3/2)
y el punto medio de BC
(1/2)[(7,5,3)+(-4,5,2)] = (1/2)(3,10,5) =(3/2, 5, 5/2)
Y el vector que une estos dos puntos es
v=(3/2, 5, 5/2) - (-3, 11/2, 3/2) = (9/2, -1/2, 1)
El ángulo se calcula por medio del producto escalar:
$$\begin{align}&\cos\alpha=\frac{u*v}{|u|·|v|}=\\ & \\ & \frac{(9,-1,2)*(\frac 92,-\frac 12,1)}{\sqrt{81+1+4}\sqrt{\frac{81}{4}+\frac 14+1}}=\\ & \\ & \frac{\frac {81}{2}+\frac 12+2}{\frac 12 ·\sqrt{86}\sqrt{86}}=\frac{86}{86}=1\end{align}$$Como el coseno es 1 el ángulo es 0, son paralelos,
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La relación es la que haya entre los vectores v y u ya que en su cálculo se tomaron los puntos que delimitan esos segmentos.
Vemos que el vector v (el de los puntos medios es 1/2 del vector u) luego la relación es
(1/2) / 1 = 1/2
El segmento L mide la mitad que el lado AB.
