Hallar un número complejo, de tal manera que se encuentre a la misma distancia de los puntos

Cuando se habla de distancia entre números complejos es la distancia que hay en el plano. Luego un número complejo a+bi lo consideraremos como el punto (a, b).

Y quien habla de igualar distancias puede hablar de igualar los cuadrados de las distancias que es lo mismo y nos evita escribir esas molestas raíces cuadradas que nunca sabemos como escribir en texto plano.

Entonces si la solución es z = x+yi deben verificarse estas igualdades

(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x+5)^2+(y-2)^2 = (x+6)^2 +(y+3)^2

Ahora las escribo en tres filas

x^2 + 2x +1 + y^2 - 4y + 4 =

x^2 + 10x + 25 + y^2- 4y +4 =

x^2 + 12x + 36 + y^2 + 6y + 9

El x^2+y^2 lo tienen todas, vamos a quitarlo y de paso sumamos también los números

2x - 4y + 5 = 10x - 4y + 29 = 12x + 6y + 45

Tomando primera con segunda

2x - 4y + 5 = 10x - 4y + 29

-8x = 24

x=-3

Tomando primera con tercera

2x - 4y + 5 = 12x + 6y + 45

-10x -10y = 40

30 - 10y = 40

-10y = 10

y=-1

Luego el punto es

z = x + yi = -3 - i

·

Y eso es todo.