Ejercicio Continuidad de la función
Hola, estoy teniendo problemas en este ejercicio de continuidad
Saludos
2 Respuestas
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Gera Gorgoretti!
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Para calcular el límite de sen6x / sen3x no es necesario usar la regla de l`Hôpital, basta con usar la fórmula del seno angulo doble
sen6x = 2sen3x·cos3x
con lo cual el límite queda en
2sen3x·cos3x / sen3x = 2cos3x
Entonces el límite en x=0 es 2cos(0) = 2
y el líimite en pi/3 es 2cos(pi) = -2
Por lo cual la función es continua en x=0 y discontinua en x=pi/3
Y eso es todo.
Respuesta de Lucas m
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$$\begin{align}&\lim_{x \to\ 0^+} \frac{sen6x}{sen3x}=\frac{0}{0}=L'Hopiltal\\ & \\ & \lim_{x \to\ 0^-} \frac{6cos6x}{3cos3x}=\frac{6}{3}=2\\ & \\ & \\ & \lim_{x \to\ 0^-}2=2\\ &\\ &\\ &En\ \pi/3:\\ &\\ &\lim_{x \to\ \frac{\pi}{3}^-} \frac{sen6x}{sen3x}=\frac{sen2\pi}{sen\pi}=\frac{0}{0}=L'Hopital\\ &\\ &\lim_{x \to\ \frac{\pi}{3}^-} \frac{6cos6x}{3cos3x}=\frac{6cos2{\pi}}{{3cos\pi}}=\frac{6}{-3}=-2\\ &\\ &\lim_{x \to\ \frac{\pi}{3}^+}2=2\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Estudiemos los límites laterales en 0:
$$\begin{align}&\lim_{x \to\ 0^+} \frac{sen6x}{sen3x}=\frac{0}{0}=L'Hopiltal\\ &\\ &\lim_{x \to\ 0^-} \frac{6cos6x}{3cos3x}=\frac{6}{3}=2\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to\ 0^-}2=2\end{align}$$Luego la función es continua en x=0 y discontinua de salto en pi/3
La segunda línea el limite es 0 derecha.