Propiedades fundamentales para determinar un espacio vectorial con otro ejercicio
Para esta otra demostración donde
Sea:(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+y_2,y_1+x_2,z_1+z_2) y k(x,y,z)=( kx,ky,kz)
(u+v)+w = u+(v+w) define la propiedad asociativa.
Sea u=(x_1,y_1,z_1 ),
v=(y_2,x_2,z_2 )y w(x_3,y_3,z_3 )
((x_1,y_1,z_1 )+(x_2,y_2,z_2 ) )+(x_3,y_3,z_3 )=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2 )+(x_3,y_3,z_3 )=
((x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)) + (z_1+z_2+z_3)= (x_1,y_1,z_1 )+((x_2,y_2,z_2 )+(x_3,y_3,z_3 ))= (x_1,y_1,z_1 )+(x_2+x_3,y_2+y_3,z_2+z_3) =(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3,z_1+z_2+z_3 )
∴ Se cumple la Propiedad Asociativa
Existe un vector cero en V, tal que u+0 = o+u=u
(x_1,y_1,z_1 )+(0,0,0)=(x_1+0,y_1+0,z_1+0)=x_1,y_1,z_1
(0,0,0)+(x_1,y_1,z_1 )=(0+x_1,0+y_1,0+z_1 )= x_1,y_1,z_1
∴ se cumple la propiedad del neutro aditivo
c(u+v)=cu+cv
k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
u=(x_1,y_1,z_1 )v=(x_2 y_2 z_2)
c[(x_1,y_1,z_1 )+(x_2 y_2 z_2 ) ]=c(x_1,y_1,z_1 )+ c(x_2 y_2 z_2 )
cx_1,cy_1,cz_1 + cx_2,cy_2,cz_2 = cx_1,cy_1,cz_1 + cx_2,cy_2,cz_2
∴ Se cumple la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores
Entonces la maestra me pone y cito:
en la propiedad asociativa de la suma, falta considerar la forma en que se definió la suma para este ejercicio, así como en la propiedad distributiva del producto. En la propiedad del neutro aditivo, si sumas:
(x1,y1,z1)+(-x1,-y1,-z1)
obtienes:
(x1-y1, y1-x1, z1-z1)
y las primeras dos entradas no necesariamente son cero
Me puedes ayudar por favor
Gracias
1 Respuesta
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Has hecho la suma habitual de R3, pero la que te dicen es otra distinta donde la componente primera de un vector se suma con la segunda del otro y viceversa, mientras que las terceras si se suman entre si de la manera normal.
Entonces la prueba de la asociativa es
$$\begin{align}&[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)] +(x_3,y_3,z_3) =\\ &\\ &(x_1+y_2,\;y_1+x_2, z_1+z_2)+(x_3,y_3,z_3) =\\ &\\ &(x_1+y_2+y_3,\;y_1+x_2+x_3, z_1+z_2+z_3)\\ &\\ &\text {y de la otra forma}\\ &\\ &(x_1,y_1,z_1)+[(x_2,y_2,z_2) +(x_3,y_3,z_3)] =\\ &\\ &(x_1,y_1,z_1)+(x_2+y_3,\;y_2+x_3,\;z_2+z_3)=\\ &\\ &(x_1+y_2+x_3,\;y_1+x_2+y_3,\;z_1+z_2+z_3)\end{align}$$Y visualmente se comprueba que los dos resultados son iguales, lueog se cumple la propiedad asociativa.
Ahora toca lo del elemento neutro, existe elemento neutro por la derecha ya que
(x,y,z)+(0,0,0) = (x+0, y+0, z+0) = (x,y,z)
pero no por la izquierda ya que
(0,0,0) + (x,y,z) = (0+y, 0+x , 0+z) = (y,x,z)
Que es distinto de (x, y, z)
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Al no haber elemento neutro no hay elementos inversos.
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Y la distributiva será asi
c[(x,y,z)+(u,v,w)] = c(x+v, y+u,z+w) = (cx+cv, cy+cu, cz+cw)
y de la otra forma
c(x,y,z)+c(u,v,w) = (cx, cy,cz)+(cu,cv,cw) = (cx+cv, cy+cu, cz+cw)
Ambos resultados son iguales, luego se cumple la propiedad distributiva.
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Y eso es todo.
