Encontrar el valor de K en las trayectorias ortogonales

Majo Bocanegra!

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Las trayectorias de dos curvas son ortogonales cuando lo son las rectas tangentes en el punto donde se cortan.

Tomemos las dos curvas más sencillas, las que se obtienen con C1=C2=0 para ellas también deben ser ortogonales las tangentes en los puntos donde se corten.

y=k

x^2+ 2y^2 - y = 0

Calculamos el punto donde se cortan

x^2 + 2k^2 - k = 0

x = +- sqrt(k-2k^2)

Las rectas tangentes deben ser perpendiculares

y=k es una recta horizontal y su tangente es ella misma

Entonces la tangente a x^2+2y^2-y =0 en el punto x=+-sqrt(k-2k^2), y=k deber ser vertical, o dicho de otra forma, su derivada debe ser infinita.

La derivada la obtendremos derivando implícitamente

2x + 4yy' - y' = 0

y'(4y-1) = -2x

y' = 2x/(1-4y) = +- 2sqrt(k-2k^2) / (1-4k)

Para que sea infinita debe ser

1- 4k = 0

4k = 1

k=1/4

Luego debe ser k=1/4

Y eso es todo.