Hallar la derivada de las siguiente curva en coordenadas polares
Hola, como dice el titulo, necesito cumplir ese enunciado para el siguiente ejercicio en:
p=a*(1-cos θ) en θ=π/2
Saludos
2 Respuestas
Una derivada no es una derivada y ya está. Una derivada debe decir qué variable con respecto a que variable se deriva. Entonces yo aquí no veo otra cosa que dos variables ro y theta. Ro es l la que hace de función t yheta la que hace de variable luego la derivada es
$$\begin{align}&\frac{d\rho}{d\theta}=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{\rho(\theta+\epsilon)-\rho(\theta)}{\epsilon}\end{align}$$Eso es la derivada por definición.
Y ya conocemos las reglas y lisgta de derivadas y esta es:
p = a*(1-cos θ)
p' = a·sen θ
por lo que
p'(π/2) = a·1 = a
Esa es la derivada.
Otra cosa sería la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto θ=π/2, pero eso no es lo que decía el enunciado.
·
Y eso es todo.
$$\begin{align}&x=a \ (1-\cos \ \theta) \cos \theta=a(\cos\theta-\cos^2\theta)\\ & y= a \ (1-\cos \theta) \ sen \ \theta=a(sen\theta-\cos\theta sen\theta)\end{align}$$
$$\begin{align}&x=rcos\theta\\ &y=r sen\theta\end{align}$$Sustituyendo r(ro) por su valor:
$$\begin{align}&x=a \ (1-\cos \ \theta) \cos \theta\\ &y= a \ (1-\cos \theta) \sin \ \theta\end{align}$$Derivando paramétricamente:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dx}{d \ \theta}}=\frac{y'( \theta)}{x'( \theta)}\end{align}$$Calculemos ambas derivadas:
$$\begin{align}&y'(\theta)=a(\cos \theta-\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)=a(\cos \theta-\cos 2\theta)\\ &\\ &x'(\theta)=a(-sen\theta+2cos\theta sen \theta)=a(-sen\theta+sen2\theta)\end{align}$$Luego
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=\frac{\cos\theta - cos2\theta}{sen2\theta-sen\theta}\end{align}$$Calculando y'(pi/2)
$$\begin{align}&y'(\pi/2)=\frac{\cos \frac{\pi}{2} - \cos\pi}{ sen\pi - sen \frac{\pi}{2}}=\frac{0-(-1)}{0-1}=-1\end{align}$$
En el segundo cuadro pone el valor de por e y en coordenadas polares, que como sabes es
$$\begin{align}&x = r \cos\theta\\ &\\ &y= r sen\theta\end{align}$$
Vaya que si.Y yo mareando la perdiz.Saludos - Lucas m