Funciones de dominio y rango. Hallar el rango de una función

Creo que te has dejado el paréntesis al escribir la función, y quieres decir  y=x/(x^2+x+4)

Para hallar el rango hay que despejar x en función de y analizar para que valores de y puedo calcular x:

$$\begin{align}&y=\frac{x}{x^2+x+4}\\ &\\ &despejamos \ x:\\ & y(x^2+x+4)=x\\ &\\ &yx^2+yx+4y-x=0\\ & yx^2 +(y-1)x+4y=0\\ &Ecuación \ de \ 2º \ grado \ en \ x:  ax^2+bx+c=0\\ &a=y\\ &b=y-1\\ &c=4y\\ &Resolviendo \\ &x=\frac{-(y-1) \pm \sqrt{(y-1)^2-16y^2}}{2y} =\\ &\\ &\frac{-y+1 \pm \sqrt{y^2-2y+1-16y^2}}{2y}=\\ &\\ &\frac{-y+1 \pm \sqrt{-15y^2-2y+1}}{2y}\\ &Esta \ expresión \ tiene\ solución \ cuando \ el \ discriminante \Delta>0\\ &\\ &-15y^2-2y+1>0\\ &15y^2+2y-1<0\\ &Inecuación \ de \ segundo \ grado\\ &Raices del polinomio \ 15y^2+2y-1=0  \\ & y_1=\frac{1}{5}  \   \   \   \  y_2=\frac{-1}{3}\\ &Estudiando \ el \ signo \ de \ los \ tres \ intervalos:\\ &(-\infty,\frac{-1}{3})\\ &(\frac{-1}{3},\frac{1}{5})\\ &(\frac{1}{5}, \infty)\\ & Es \ negativo \ (\frac{-1}{3},\frac{1}{5}) \ P(0)=-1\\ &\\ &Luego\\ &\\ & \\ &Rangf=(\frac{-1}{3},\frac{1}{5})\\ &\\ &\end{align}$$