¿Como resuelvo esta integral? No tengo ni idea

Chrisvel contreras!

Esta integral se resuelve con un cambio de variable trigonométrico.

Luego queda una integral de cos^2(x) que se puede hacer de varias maneras, yo te la resolveré por partes.

Vamos allá

$$\begin{align}&\int \ \sqrt{1-x^2}dx=\\ &\\ &x=sent\\ &dx=cost·dt\\ &=\int \ \sqrt{1-sen^2t} \ cost \ dt=\\ &(sen^2t+\cos^2t =1)\\ &\\ &= \int \ \sqrt{\cos^2t} \ cost \ dt=\\ &\\ &=\int \cos^2t \ dt= (por \ partes)=\int cost·cost·dt\\ &cost=u  \Rightarrow u'=-sent \ dt\\ &v'=cost \ dt \Rightarrow v=\int cost\ dt=sent\\ &\\ &=uv-\int u 'v=sent·cost-\int -sen^2t=\\ &\\ &(sen^2t=1-\cos^2t)\\ &\\ &Hemos \ llegado \ a:\\ &\\ &\int \cos^2t·dt=sent·cost+\int(1-\cos^2t)dt\\ &\int \cos^2t \ dt=sent·cost+t-\int \cos^2t·dt\\ &Obtenemos \ la \ misma \ integral \ canviada \ de \ signo.\\ &Interpretando \ esta \ igualdad \ como \ una \ ecuación \ de \\ &incógnita \ la \ integral, la \  pasamos \ al \ primer \ miembro:\\ &2\int \cos^2tdt=sent·cost+t\Rightarrow\\ &\int \cos^2t·dt=\frac{1}{2}[sent·cost+t]=\\ &deshacemos \ el \ cambio \ de\ variable,  teniendo \ en \ cuenta \ que:\\ &x=sent\Rightarrow cost=\sqrt{1-sen^2t}=\sqrt{1-x^2}\\ &x=sent\Rightarrow t=arcsenx\\ &Luego\\ &\frac{1}{2}[sent·cost+t]=\frac{1}{2}[x \sqrt{1-x^2}+arcsenx]+C\end{align}$$

 Al integrar por partes, a veces utilizamos este truco de obtener en el segundo miembro la misma integral que estamos buscando canviada de signo

Yo tampoco sé resolverla pero quería proponerte unas calculadoras en línea, que pueden ayudarte a solucionar la integral

http://integrals.wolfram.com/index.jsp 

http://experymente.blogspot.com.es/2012/11/calculadora-de-integrales-y-derivadas.html 

http://es.solvemymath.com/calculadoras/calculo/integrales_definidas/ 

http://es.solvemymath.com/calculadoras/calculo/integrales/