Integrales mediante método de sustitución

Manda una integral por pregunta. Para mi es más cómodo.

Esta integral, no se si se puede hacer directamente por sustitución, creo que primero hay que descomponerla en fracciones simples. Como escribir la descomposición en fracciones simples es un poco tedioso, supondré que ya lo sabes hacer, sino mandas otra pregunta pidiendo el proceso de descomposición:

$$\begin{align}&\ \frac{x^3}{(x^2+1)^3}= \frac{x}{(x^2+1)^2}-\frac{x}{(x^2+1)^3}\\ &\\ &\int \frac{x^3}{(x^2+1)^3}dx= \int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx- \int \frac{x}{(x^2+1)^3}dx\\ &\\ &I=I_1+I_2\\ &\\ &Las \ dos \ integrales \ se \ hacen \ con \ la \ misma \ sustitución:\\ &t=x^2+1\\ &dt=2xdx\\ &xdx= \frac{1}{2}dt\\ &\\ &I_1= \int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2}dt=\frac{1}{2} \frac{t^{-2+1}}{-1}=\\ &\\ &\frac{-1}{2t}= \frac{-1}{2(x^2+1)}\\ &\\ &Analogamente\\ &\\ &I_2=\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^3}dt=\frac{1}{2} \frac{t^{-2}}{-2}=\frac{-1}{4t^2}= \frac{-1}{4(x^2+1)^2}\\ &\\ &I=I_1+I_2= \frac{-1}{2(x^2+1)}+\frac{-1}{4(x^2+1)^2}=\\ &\\ &-\frac{2x^2+1}{4(x^2+1)^2}\\ &\\ &\end{align}$$

Un placer y espero que te sirva