Demuestre dados x,y pertenece R se tiene que senh(x+y)=senh x cosh y+cosh x senh y

Oosj Estrada!

Las funciones hiperbólicas son funciones con propiedades análogas a las trigonométricas peroson en realidad del tipo exponencial.

Para resolver el anterior ejercicio solo has de conocer la fórmula de las funciones seno hiperbólico y del coseno hiperbólico y luego operar bien las potencias.

Vamos alla:

$$\begin{align}&\ propiedad \  potencieas: \ e^x·e^y=e^{x+y}\\ &  Definiciones:\\ & seno \ hiperbolico\\ & senhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & \\ & coseno \ hiperbólico\\ & coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ & \\ & senh{(x+y)}=\frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2}= \frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\\ & \\ & Eso \ ha \ de \ ser \ igual \ a:\\ & senhx·coshy+coshx·senhy=\\ & \\ & \frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}=\\ & \\ & \frac{e^xe^y+e^xe^{-y}-e^{-x}e^y-e^{-x}e^{-y}+e^xe^y-e^xe^{-y}+e^{-x}e^y-e^{-x}e^{-y}}{4}=\\ & \\ & \frac{e^xe^y-e^{-x}e^{-y}+e^xe^y-e^{-x}e^{-y}}{4}=\\ & \\ & \frac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}=\frac{2e^{x+y}-2e^{-(x+y)}}{4}=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2} \ (c.q.d.)\\ & \end{align}$$

c.q.d. (como queríamos demostrar)