Problema ejercicio de demostración planos

Esto se podría resolver de dos maneras:

i) Geométricamente

Ii)algebricamente

Algebraicamente es la manera como te lo haré:

Observa la ecuación del plan pi: (x,y,z)=P+tv+sw  se llama Ecuacion Vectorial del Plano

He cambiado las letras para no poner subíndices.

P=(Xº, yº, zº) son subíndices, son las coordenadas de un punto del plano

V i w son los vectores de dirección del planov=(v1, v2, v3) Los números son subíndices

w=(w1,w2,w3)

t y s son los parámetros

Asi tenemos la ecuación vectorial (x,y,z)=(xº,yº,zº)+t(v1,v2,v3)+s(w1,w2,w3)

Si escrivimos la ecuación de cada componente por separado, obtenemos tres ecuaciones, una para cada componente, y se llaman las ecuaciones Parámetricas del plano

x=xº+tv1+sw1

y=yº+tv2+sw2

z=zº+tv3+sw3         (Recuerda v3 quiere decir la tercera componente del vector v)

Lo que hay que saber de estas ecuaciones Paramétricas del plano es que

Los coeficientes del parámetro t son las coordenadas del vector v

Los coeficientes del parámetro es son lascoordenadas del vector w

Los términos sin parámetros (xº, yº, zº) es el punto

Entendido todo esto, vayamos a nuestra ecuación delplano:

ax+by+cz+d=0

Esto es una ecuación con 3 incógnitas, luego seria un Sistema Compatible Indeterminado con 2 grados de libertad. Quiero esto decir que le doy dos valores cualquiera a dos incógnitas cualquiera y calculo la otra, obteniendo así soluciones particulares de la ecuación, que además serían puntos del plano.

Así si hago

x=k

y=t

despejando z

$$\begin{align}&\\\ &z=-\frac{a}{c}k-\frac{b}{c}t-\frac{d}{c}\\ &\\ &Estas \ tres \ ecuaciones \  serían \ las \  \\ &ecuaciones \ Paramétricas  \ del \ plano\\ &x=k \Rightarrow x=0+1k+0t\\ &y=t\Rightarrow y=0+0k+1t\\ &z=-\frac{d}{c}-\frac{a}{c}k-\frac{b}{c}t\\ &Que \ quiere \ decir\\ &un \ punto \ del \ plano \ es P=(0,0,-\frac{d}{c})\\ & v=(1,0,-\frac{a}{c}) \Rightarrow v=(c,0,-a)\\ &w=(0,1,-\frac{b}{c}) \Rightarrow w=(0,c,-b)\\ &\\ &(x,y,z)=(0,0,-\frac{d}{c})+k(c,0,-a)+t((0,c,-b)\\ &\\ &donde \\ & k=t_1  \\ &t=t_2\\ &\\ &\end{align}$$

El vector v y w los  he multiplicado por c (los múltiplos de un vector tienen la misma dirección)

Con el punto no se puede hacer lo mismo, evidentemente.

Bueno, espero que lo hayas entendido. Solo es tener las ideas claras de lo que significan las ecuaciones paramétricas del plano y relacionar esto con la solución general de un Sistema Compatible

Indeterminado de UNA ecuacióncon TRES incógnitas, cuyas soluciones(x, y, z) son ls puntos del plano.