Demuestra que para cualquier n Є N el número n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 es divisible por 9
Buenas noches, como puedo demostrar este enunciado?
Demostrar que para cualquier n Є N el número
$$\begin{align}&n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \end{align}$$es divisible por 9
Gracias
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
1
Fred Ro!
$$\begin{align}&\ n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=\\ &n^3*n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8=\\ &3n^3+9n^2+15n+9=\\ &\\ &3n^3+9n^2+9n+6n+9\\ &\\ &donde \ 9n^2+9n+9 \ son multiplos \ de \ 9\\ &\\ &3n^3+6n\\ &Si \ n=1 \Rightarrow =9\\ &Si \ n=2 \Rightarrow=36\\ &\\ &Por \ recurrencia:\\ &supongamos \ que \ 3n^3+6n \ es \ múltiplo \ de \ 9\\ &Para \ n+1:\\ &3(n+1)^3+6(n+1)=\\ &3n^3+9n^2+9n+3+6n+6\\ &tambien \ es \ multiplo \ de \ 9\\ &\\ &c.q.d(como \ queriamos \ demostrar)\\ &\end{align}$$
El * es un +
