Problema ejercicios rectas y planos álgebra

Gera Gorgoretti!

Hallamos el punto de corte si es que existe. Yo ya lo he encontrado a ojo, pero hay que hacerlo bien.

(13,2,-1)+t(-6,0,2) = (6,4,-1)+s(5,2,-4)

se deducen tres ecuaciones

13-6t = 6+5s

2 = 4+2s

-1+2t= -1-4s

de la segunda se deduce

-2 = s2

s=-1

y entonces en la primera

13-6t = 6-5

-6t = -12

t = 2

Y debemos comprobar que esos valores de t y s sirven para la tercera

-1 +2·2 = -1-4(-1)

3=3

sirve.

Luego el punto donde se cortan es

(13,2,-1)+2(-6,0,2) = (1, 2, 3)

Y así podemos poner las ecuaciones como

(1,2,3)+t(-6,0,2)

(1,2,3)+s(5,2,-4)

Los vectores de los lados que comienzan en (1,2,3) serán

t(-6,0,2)

s(5,2,4)

El areá del triángulo será la mitad del módulo del producto vectorial (o producto cruz)

(1/2)ts·|(-6,0,2)x(5,2,4)|

calculamos aparte el producto vectorial

| i    j   k|

|-6  0  2|  = -4i + 34j -12k

| 5  2  4|

y el módulo es

$$\begin{align}&\sqrt{4^2 + 34^2 + 12^2} = \sqrt{1316}=2  \sqrt{329}\\&\\&\text{Y el área es}\\&\\&\frac 12ts·2 \sqrt{239}=10\\&\\&ts \sqrt{239}=10\\&\\&s= \frac{10}{t \sqrt{239}}\end{align}$$

Hay infinitas respuestas, para cada valor de t distinto de 0 se puede calcular un valor de s tal que el triángulo tiene área 10

Los puntos son

$$\begin{align}&A=(1,2,3)+t(-6,0,2)\\&\\&B=(1,2,3)+\frac{10}{t \sqrt{239}}(5,2,-4)\\&\\&\forall \;t \in \mathbb{R}-\{0\}\end{align}$$

Si el profesor es de los que no puede ver una raíz en el denominador lo racionalizas.