Calculo diferencial y sus aplicaciones, incremento de la utilidad y elasticidad de la demanda
De La función de demanda para un producto es
$$\begin{align}&p=100/\sqrt{q+4}\end{align}$$Calcula lo siguiente:
- El cambio en el precio si la cantidad demandada pasa de 5 a 20 unidades.
- La tasa de cambio promedio dadas las condiciones del inciso anterior.
- La elasticidad precio de la demanda cuando el precio es $20
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El cambio, o más claramente el incremento de precio, es el precio para 20 unidades menos el de 5 unidades.
$$\begin{align}&\Delta p=p(20)-p(5)=\frac{100}{\sqrt{20+4}}- \frac{100}{\sqrt{5+4}}=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{24}}-\frac{100}{\sqrt 9}= \\&\\&\frac{100}{2 \sqrt 6}- \frac{100}{3}=\\&\\&\frac{300-200 \sqrt 6}{6 \sqrt 6} =\\&\\&\frac{(300-200 \sqrt 6)\sqrt 6}{6 \sqrt 6·\sqrt 6} =\\&\\&\frac{300 \sqrt 6-1200}{36}=\\&\\&\frac{25 \sqrt 6-100}{3} =\\&\\&-12.92091881\end{align}$$El cambio promedio será el incremento (que puede ser negativo) de precio entre el incremento de las unidades
-12.92091881 / (20-5) =
-12.92091881/ 15 =
-0.8613945873
La elasticidad del precio de la demanda se define así
$$\begin{align}&E_p=\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}}=\frac{\Delta Q}{\Delta P}·\frac PQ\end{align}$$Cuando se calcula en un punto los incrementos de P y Q tienden a 0 y el primer factor se convierte en la derivada de Q respecto de P
$$\begin{align}&E_p=\frac{\partial Q}{\partial P}·\frac PQ\\&\\&\text{Pongamos Q como función de P}\\&\\&p=\frac{100}{\sqrt{q+4}}\\&\\&\sqrt {q+4}=\frac {100}p\\&\\&q+4 = \frac{10000}{p^2}\\&\\&q = \frac{10000}{p^2}-4\\&\\&\frac{\partial P}{\partial Q}=10000·\frac{(-2p)}{p^4}= -\frac{20000}{p^3}\\&\\&E_p = -\frac{20000}{p^3}·\frac{p}{q}= -\frac{20000}{p^2q}\\&\\&\text{Para q=20 el precio es}\\&\\&p(20)=\frac{100}{\sqrt {24}}= \frac{100}{2 \sqrt 6}= \frac {50}{\sqrt 6}\\&\\&\text{Y el precio al cuadrado es}\\&\\&[p(20)]^2= \frac{2500}{6}=\frac {1250}{3}\\&\\&\text{Con lo cual}\\&\\&E_p(20) = -\frac {20000}{\frac{1250}{3}·20}=\\&\\&-\frac{60000}{25000}=-\frac {12}5=-2.4\end{align}$$
