Incremento de utilidad y elasticidad de la demanda

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El cambio en el precio será:

$$\begin{align}&\Delta P=P(20)-P(4)=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{20+4}}-\frac{100}{\sqrt{5+4}}=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{24}}-\frac{100}{3}=\\&\\&\frac{100 \sqrt{24}}{24}- \frac{800}{24} =\\&\\&\frac{100(2 \sqrt {6}-8)}{24}=\\&\\&\frac{25(2 \sqrt{6}-8)}{6}=\\&\\&\frac{25(\sqrt 6-4)}{3}=-12.9209188\\&\\&\\&\end{align}$$

Si no tenéis que elaborar tanto las expresiones toma la calculadora desde el principio.

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La tasa de cambio promedio será el cambio dividido entre el número de unidades que se incrementaron

$$\begin{align}&Tasa\; CP= \frac{\Delta P}{\Delta Q}=\frac{-12.9209188}{20-5}=\\&\\&\frac{-12.9209188}{15}= -0.8613945873\end{align}$$

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La elasticidad de precio es:

$$\begin{align}&E_p=\frac{\Delta Q/Q}{\Delta P / P}= \frac{\Delta Q}{\Delta P}·\frac PQ\\&\\&\end{align}$$

La elasticidad puntual es el límite cuando los incrementos tienden a 0, entonces el cociente de esos incrementos es la derivada de la cantidad respecto del precio.

$$\begin{align}&Ep = \frac{dQ}{dp}·\frac PQ\end{align}$$

Y fastidia mucho que nos pidan la derivada de Q respecto de p cuando lo que tenemos es la función P(q). Lo normal es despejar Q(p) y aplicar la fórmula

$$\begin{align}&P(q) = \frac{100}{\sqrt{q+4}}\\&\\&\sqrt{Q(p)+4}=\frac{100}{p}\\&\\&Q(p)+4= \frac{10000}{p^2}\\&\\&Q(p)=\frac{10000}{p^2}-4\\&\\&\frac{dQ}{dp}= -\frac{20000}{p^3}\\&\\&\left.\frac{dQ}{dp}\right|_{p=20}=-\frac{20000}{20^3}=\\&\\&-\frac {20000}{8000}=-\frac 52=-2.5\\&\\&\text{también hay que calcular Q cuando p=20}\\&\\&Q(20)=\frac{10000}{20^2}-4=\frac{10000}{400}-4=25-4=21\end{align}$$

Y ya tenemos todos los datos para calcular la elasticidad precio de la demanda en p=20

$$\begin{align}&E_p(20) = \left.\frac{dQ}{dp}\right|_{p=20}·\frac{P}{Q}=\\&\\&-2.5 ·\frac{20}{21}= -\frac{50}{21}=-2.380952381\end{align}$$