Resolver una ecuación exponencial en base e

Juan Mora!

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Creo de deberías haber escrito

y = a + be^(cx)

Ya que la potenciación es la operación con más prevalencia y tal como lo has esctrito se haría así

y = a + b(e^c)x

Puedes comprobarlo con la calculadora o con cuialquier programa de cáculo de ordenador

1 + 1·e^1·2 = 1+2e

1 + 1·e(1·2) = 1 + e^2

Si tienes tres valores de la función

$$\begin{align}&y_1 = a + be^{cx_1}   \implies a=y_1-be^{cx_1}\\&\\&y_2 = a + be^{cx_2} \implies \\&y_2 = y_1-be^{cx_1}+be^{cx_2}\implies\\&b=\frac{y_2-y_1}{e^{cx_2}-e^{cx_1}}\\&\\&\\&y_3 = a + be^{cx_3} \implies\\&\\&y_3= y_1-\frac{y_2-y_1}{e^{cx_2}-e^{cx_1}}e^{cx_1}+\frac{y_2-y_1}{e^{cx_2}-e^{cx_1}}e^{cx_3}\implies\\&\\&(y_3-y_1)(e^{cx_2}-e^{cx_1})=-(y_2-y_1)e^{cx_1}+(y_2-y_1)e^{cx_3}\\&\\&\frac{e^{cx_2}-e^{cx_1}}{e^{cx_3}-e^{cx_1}}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}\\&\\&\frac{e^{c(x_2-x_1)}-1}{e^{c(x_3-x_1)}-1}=\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}\\&\\&\left(e^{c(x_2-x_1)}-1\right)(y_3-y_1)=\left( e^{c(x_3-x_1)}-1 \right)(y_2-y_1)\end{align}$$

Y el que pueda despejar la c ahí merecerá todo mi respeto.

Para poder resolver esto de forma algebraica será necesario conocer el valor de la función en algunos puntos concretos.

Por ejemplo para x=0 ya que entonces la primera ecuación queda simplificada

y(0) = a+b

O aun mejor conocer el límite en -infinito ya que entonces queda

lim x-->-infinito y(x) = a

Y si los puntos son cualesquiera sería necesario utilizar métodos iterativos de aproximación numérica como el de Newton-Raphson por ejemplo y se tendría que resolver caso por caso.

Y eso es todo, si acaso tienes unos datos concretos que quieres calcular mándamelos en otra pregunta (no en esta) y lo intentaré.

Estoy de acuerdo con los paréntesis, se me ha pasado, pero hemos llegado a la misma conclusión, el no poder despejar la "c". Veo que la única solución posible es el tanteo para poder resolver la "c". Lo he intentado con logaritmos neperianos pero me encuentro con el problema del tipo ln(175e^(0.4c)-95e^(0.7c)), es decir el logaritmo neperianos de una suma, que como bien sabemos no es la suma de los logaritmos neperianos.

Saludos, gracias y lo intentare resolver por el método de tanteo.

Que el método de Newton-Raphson es como el de tanteo pero mucho mejor.

Tu dime la ecuación exacta que hay que resolver y yo lo intento.

Te envío los datos de dos curvas, para la primera los valores de x son 0.0, 0.4 y 1.0 y los valores de y son 405, 735 y 1455, para la segunda curva los valores de x son los mismos y los valores de y son 555, 905 y 1625. He obtenido valores de a, b y c por el método de tanteo que satisfacen los puntos dados, pero el resultado obtenido no me satisface, me gustaría compararlos con los que tu obtengas. Para la primera curva los valores que obtengo son a=-552.6, b=957,6 y c=0.740275058, para la segunda son a=-676.8, b=1231.8 y c=0.625202274.

Saludos

Las ecuaciones de la primera serán

405 = a+b  ==> a=405 -b

735 = a+be^(0.4c)  ==> 330 = -b + be^(0.4c)   ==> b=330/[e^(0.4c)-1]

1455 = a+be^c       ==> 1050 = -b + be^c         ==> b= 1050/(e^c-1)

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330/[e^(0.4c)-1] = 1050/(e^c-1)

$$\begin{align}&330(e^c-1) =1050(e^{0.4c}-1)\\&\\&330e^c-330 -1050e^{0.4c}+1050=0\\&\\&330e^c-1050e^{0.4c}+720=0\\&\\&\text{hagamos } \\&\\&e^{0.4c}=x^2\implies e^c= (e^{0.4c})^{2.5}=(x^2)^{2.5}=x^5\\&\\&\text{y queda}\\&\\&330x^5-1050x^2+720=0\\&\\&11x^5 -35x^2 +24 = 0\end{align}$$

Y ese polinomio hay muchas formas de resolverlo, por ejemplo la página Wolphram Alpha, programas como Maxima, usando la función objetivo en Excel, etc.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=11x^5-35x^2%2B24%3D0

Las soluciones son

x=1

x=-0.773685122211794

x=1.15957668488419

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x=1 no sirve ya que daria c=0 y no habría exponencial

x=-0.773685122211794 tampoco sirve ya que x es un valor de una exponencial y debe ser siempre positivo

luego x=1.15957668488419

Y ahora calculamos c

e^(0.4c) = (1.15957668488419)^2 = 1.344618088

0.4c = ln(1.344618088)

c = ln(1.344618088) / 0.4 = 0.7402750585

b=b=330/[e^(0.4c)-1] = 330/(x^2-1) = 330/0.344618088= 957.5817738

a = 405-b = 405-957.5817738 = -552.5817738

Pues los tenías muy bien calculados.

Por favor si quieres que compruebe la otra mándamela en otra pregunta. En esta ya se ha trabajado bastante.

OK. Gracias por todo.

De nada. Pero no olvides puntuar