Calculo de funciones en racionales
Se considera una función f tal que f: Z. Q
f(I) = 2015
f(I) + f(2) + ..........+ f(n ) = n^2. f(n )
Detsermine el valor de f(2015)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Jancr!
·
Has puesto la letra i mayúscula, imagino que querías decir el número 1
f(1) = 2015
f(1) + f(2) = 2^2·f(2)
2015 + f(2) = 4f(2)
3f(2) = 2015
f(2) = 2015 / 3
f(1)+f(2) = (4/3)2015
(4/3)2015 + f(3) = 9f(3)
f(3) = (4/24)2015
f(1)+f(2)+f(3) =(36/24)2015
(36/24)2015 + f(4) = 16f(4)
f(4) = [36 / (24·15)]2015
f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = [(36·15+36)/(24·15)]2015
[(36·15+36)/(24·15)]2015 + f(5) = 25f(5)
f(5) = [(36·16)/(24·15·24)]2015
De acuerdo con las operaciones que se han hecho vamos a ponerlo de forma que se entienda mejor.
$$\begin{align}&f(1)= 2015\\&\\&f(2) =\frac{1^2}{2^2-1}·2015\\&\\&f(3) = \frac{1^2·2^2}{(2^2-1)(3^2-1)}·2015\\&\\&f(4) = \frac{1^2·2^2·3^2}{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)}\\&\\&f(5) = \frac{1^2·2^2·3^2·4^2}{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)(5^2-1)}\\&......\\&f(n) =\frac{[(n-1)!]^2}{\prod_{i=2}^n(i^2-1)}·2015\\&\\&f(2015)=\frac{(2014!)^2·2015}{3·8·15·24·35·48·63···(2015^2-1)}\end{align}$$Y sobre el denominador yo no sé si se puede epresar más simplificado o no.
