Solucion de una Ecuacion Diferencial por variables separables.

Jesús Gómez!

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$$\begin{align}&\frac {dy}{dx}+3xy^3=0\\&\\&\frac {dy}{dx}=-3xy^3\\&\\&\frac{dy}{y^3}= -3xdx\\&\\&\int \frac{dy}{y^3}=\int -3xdx+C\\&\\&\int y^{-3}dy= -\frac 32x^2+C\\&\\&\frac{y^{-2}}{-2} = -\frac 32 x^2+C\\&\\&y^{-2}=3x^2+C\\&\\&\text{hemos renombrado -2C por C}\\&\\&y^2 = \frac{1}{3x^2+C}\\&\\&y=\frac{1}{\sqrt{3x^2+C}}\\&\\&\text {Y ahora calculamos C para que y(0)=1}\\&\\&1=\frac{1}{\sqrt{3·1^2+C}}\\&\\&\sqrt{3+C}=1\\&\\&3+C=1\\&\\&C=-2\\&\\&\text{luego la solución es}\\&\\&y=\frac{1}{\sqrt{3x^2-2}}\\&\end{align}$$