Ejercicio: Inversa de función cuadrática

El dominio de la función inversa es el rango de la función original.

La función la conocerás de sobrá, es una parabola que por tener positivo el coeficiente de x^2 tiene forma de U. La función toma todo el rango de valores entre +infinito y su mínimo que es el vértice.

Sobre el cáculo del vértice depende lo que estés estudiando. Sio es geometría puede que te hayan dicho que el vértice de una parábola está en el punto -b/2a.

Si estás estudiando Cálculo te habrán dicho que el mínimo se calcula derivando e igualando a 0. De las dos formas sale lo mismo.

f '(x) = 2x - 4 = 0

2x=4

x=2

Y el mínimo de la función es

f(2) = 2^2 - 4·2 + 9/4 = -4 +9/4 = -7/4

Luego el dominio de la función inversa es

Dom f^(-1) = [-7/4, +infinito)

·

Y para calcular la inversa hay que despejar la x en función de y

$$\begin{align}&y = x^2 - 4x + \frac 94\\&\\&x^2 - 4x + \frac 94-y=0\\&\\&\text {usamos la fórmula de segundo greado}\\&\\&x=\frac{4\pm \sqrt{16-4\left(\frac 94-y\right)}}{2}=\\&\\&\frac{4\pm \sqrt{16-9+4y}}{2}=\\&\\&\frac{4\pm \sqrt{4y+7}}{2}=\\&\\&2 \pm \sqrt{y+\frac 74}\\&\\&\text{Y ahora se intercambian variables}\\&\\&f^{-1}(x) = 2\pm \sqrt{x+\frac 74}\\&\end{align}$$

Tenemos dos funciones inversas, eso es porque la función f no es inyectiva.

¡Ah espera! Pensaba que la pregunta era dar el dominio de la inversa, por eso hice lo del principio. Pero lo que dicen es dar un dominio para que haya inversa.

Pues para que haya inversa lo que hay que hacer es tomar la rama ascendente o la descendente de f(x). Luego podemos tomar cualquiera de estos dos

a) Dom f  = (-infinito, 2]

o

b) Dom f = [2, +infinito)

Para saber cuál es la inversa correspondiente a cada uno de los dominios pensemos.

Si tomamos el dominio a) tenemos el punto límite (-infinito, +infinito) en f(x) luego en la inversa estará el punto (+infinito, - infinito)

Y de las dos ramas de la inversa quie hemos calculado la que vale -infinito cuando x tiende a infinito es la que tiene el signo -

$$\begin{align}&Si\; Dom f =(-\infty,2]\implies\\&\\&f^{-1}(x) = 2-\sqrt{x+\frac 74}\\&\\&Dom f^{-1}=\left(-\frac 74,+\infty\right)\\&\\&Rango f^{-1}=(-\infty,2]\end{align}$$

·

Y si tomamos el dominio b) el punto límite es (+infinito, +infinito) y el la inversa estará ese mismo punto (+infinito,+ infinito) luego la rama de f^(-1) que tiene ese punto es la que tiene el signo +

$$\begin{align}&Si\; Dom f =[2,+\infty)\implies\\&\\&f^{-1}(x) = 2+\sqrt{x+\frac 74}\\&\\&Dom f^{-1}=\left(-\frac 74,+\infty\right)\\&\\&Rango f^{-1}=[2,+\infty)\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Hay otra forma de saber cual era la inversa de cada una que era dibujar la parábola, dibujar la recta y=x, y hacer la simetria de la parabola respecto de esa recta, así sabíamos cual era la rama que se transformaba en la función que creciá y cuál era la otra.

Si no entendiste algo pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.