Resolución de Problemas con Integrales

·

Vamos a derivar el resultado y después lo igualaremos a la función de la integral y a partir de ahí se deducirá el valor de A, B y C

$$\begin{align}&[A\,lnx +B\,ln(x-1)+C\,ln(x+2)+D]'=\\&\\&\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}=\\&\\&\frac{A(x-1)(x-2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+2)}=\\&\\&\frac{A(x^2-3x+2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)}{x^3+2x^2-x^2-2x}=\\&\\&\frac{(A+B+C)x^2+(-3A+2B-C)x+2A}{x^3+x^2-2x}=\\&\\&\text{Igualamos ya a lo que nos dicen}\\&\\&= \frac{2x^2+5x-1}{x^3+x^2-2x}\\&\\&\text{para que las 2 funciones sean iguales}\\&\\&A+B+C = 2\\&-3A+2B-C=5\\&2A=-1 \implies A=-\frac 12\\&\\&\text{Ahora las 2 primeras ecuaciones son}\\&-\frac 12+B+C = 2\implies B+C=\frac 52\\&\frac 32+2B-C=5\implies2B-C=\frac 72\\&\\&\text {las sumamos}\\&3B=6\\&B=2\\&C=\frac{5}{2}-2=\frac 12\\&\\&\text{luego}\\&\\&E=\frac{2A+B}{2C}\\&=\frac{2\left(-\frac 12\right)+2}{2·\frac 12}=\frac{-1+2}{1}=1\\&\end{align}$$