¿Cuál es el procedimiento adecuado a aplicar para resolver esta integral matemática de acuerdo a su tipo?

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La primera se resuelve inmediatamente con la fórmula

$$\begin{align}&\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\end{align}$$

Y con las propiedades de la suma y producto por una constante de las integrales

$$\begin{align}&\int_0^3\left(\frac {1}{2}x^3-2x^2+x+3\right)dx=\\&\\&\\&\left [\frac{1}{2}·\frac{x^4}{4}-2· \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+3x \right ]_0^3=\\&\\&\left(\frac{81}{8}-18+\frac 92+9-0+0-0-0  \right)\\&\\&\frac{81+36}{8}-9=\frac{117-72}{8}= \frac{45}{8}\end{align}$$

Y la segunda se resuelve con un cambio de variable:

$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}}dx=\\&\\&t=5x^2+1\\&dt = 10xdx\implies xdx = \frac 1{10}dt\\&\\&Si \;x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&Si\;x=6 \implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac{1}{\sqrt t}·\frac 1{10}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\frac 1{10} \left.  \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}\right|_{21}^{181}=\\&\\& \left. \frac {\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$