Formulas para aplicar y resolver problemas de movimiento parabolico
Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar: a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?. B) Con la misma velocidad inicial ¿desde qué otra posición se podría haber disparado?.
2 Respuestas
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Colocaremos el punto (0, 0) en la vertical de la torre.
Así el punto de impacto será (0,26) y el punto desde donde se dispara (-200, 0)
La parábola tendrá ecuación
y= ax^2 + bx + c
la derivada es
y' = 2ax + b
sabemos que la derivada en el punto x=-200 es tg(60º) = sqrt(3)
2a(-200)+b = sqrt(3)
1) -400a + b = sqrt(3)
Por otra parte la parábola pasa por (-200, 0) luego
2) 40000a - 200b + c = 0
Y también pasa por (0, 26) luego
3) a·0^2+ b·0 + c = 26
c = 26
vamos con este valor a la ecuación 2)
40000a - 200b + 26 = 0
40000a - 200b = 26
y ahora entre esta y la 1) hay que despejar a y b
-400a + b = sqrt(3)
40000a - 200b = 26
multiplicando la primera por 100 y sumádola a la segunda tendremos
0a -100b = 26 + 100sqrt(3)
-100b = 26 + 100sqrt(3)
b = -26/100 - sqrt3
b= -0.26 - sqrt 3
Y ahora sustituimos esto en la 1)
-400a - 0.26 - sqrt 3 = sqrt3
- 400a =0.26 + 2sqrt(3)
a = -0.26/400 - 2sqrt(3)/400 = -0.00065 - sqrt(3)/200
Bueno, si no me he equivocado la parábola es
y = -(0.00065+sqrt(3)/200)x^2 - (0.26 + sqrt(3))x +26
Aunque sea poco matemático voy a dar los coeficientes en decimal para no morirnos con la comprobación
y = -0.009310254038x^2 - 1.992050808x + 26
Vamos a comprobar si cumple las tres condiciones con una calculadora
y(-200) = 0
y' = -0.01862050808x - 1.992050808
y'(-200) = 1.732050807 = sqrt(3) = tg(60º)
y(0) = 26
Luego está bien.
Y esta parábola debe coincidir en altura con la ecuación del movimiento debido a la fuerza de la gravedad
...
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Madre mía en que lío me he metido. Yo pensaba que había que calcular la parábola pero no piden eso. Olvídate de todo.
En el eje X el proyectil lleva una velocidad constante, la inicial del eje X y su ecuación es
x(t) = V·cos(60º)t - 200
En el momento del impacto x(t)=0 luego
0 = V·(1/2)·t - 200
200 = (1/2)V·t
1) t=400/V
En el eje Y la ecuación de posición será
y(t) = -(1/2)gt^2 +V·sen(60º)t
en el momento del impacto la altura es 26
26 = -4.9t^2 + Vsen(60º)·t
sustituímos el valor t=400/V
26 = -4.9 · 160000/V^2 + 400sen(60º)
26 - 400sen(60º) = - 784000/V^2
V^2 = 7840000 / [400sen(60º)-26]
Bueno ya vale, vamos a poner números decimales
V^2 = 24468.63721
V = sqrt(24468.63721) = 156.4245416 m/s
...
B)
Toda parábola tiene dos puntos a la misma altura.
La velocidad inicial en el eje Y es
V·sen60 = 156.4245416 · sen(60º) = 135.4676268 m/s
la ecuación de la posición en el eje Y es
y(t) = -4.9t^2 + V·sen(60º)t
y(t) = -4.9t^2 + 135.4676268t
para que la altura sea 26
26 = -4.9t^2 + 135.4676268t
4.9t^2 - 135.4676268t + 26 = 0
resolvemos
$$\begin{align}&t=\frac{135.4676268 \pm \sqrt{135.4676268^2 -4·4.9·26}}{9.8}=\\&\\&27.45317544 s\\&0.19322790073s\\&\\&\end{align}$$Por la magnitud de las velocidades y distancias veo que están mal las respuestas. Pero me tengo que ir y no puedo dejar por perdido el trabajo. Ya lo corregiré mañana.
¡Bueno Lios 68!
Es un problema relativamente fácil, asi que a la tercera tiene que ir la vencida. Empiezo de nuevo.
Ahora el punto de disparo será el (0, 0)
El proyectil describe dos ecuaciones, en el eje X es un movimiento uniforme con velocidad constante igual a V·cos60º. Y en el eje Y describe un movimiento uniformemente acelerado debido a la fuerza de la gravedad. De modo que las ecuaciones de posición serán:
$$\begin{align}&x(t) = V·\cos(60º)·t = \frac{Vt}{2}\\&\\&y(t) = -\frac 12gt^2+V·sen(60º)t =\\&\\&y(t) =-4.9t^2 + \frac{V\sqrt 3}{2}t\end{align}$$Para un determinado valor de t se produce el impacto en un punto a 200m en horizontal y a 26m de altura, luego
$$\begin{align}&200 = \frac{Vt}{2} \implies Vt=400\\&\\&26 =-4.9t^2 + \frac{Vt\sqrt 3}{2} \implies\\&\\&26 = -4.9t^2 +\frac{400 \sqrt 3}{2}\\&\\&4.9t^2 = 200 \sqrt 3-26\\&\\&t^2=\frac{200 \sqrt 3-26}{4.9}=65.38982888\\&\\&t = 8.086397769s\\&\\&V =\frac{400}{t}=49.46578333\;m/s\end{align}$$·
Y toda parabola tiene dos puntos a la misma altura (salvo el vértice)
Tomando solo la ecuación del eje Y que teníamos:
$$\begin{align}&26 =-4.9t^2 + \frac{Vt\sqrt 3}{2} \\&\\&\text{poniendo la velocidad calculada}\\&\\&26 =-4.9t^2 + \frac{49.46578333·t \sqrt 3}{2}\\&\\&4.9t^2- 42.83862498t+26=0\\&\\&t=\frac{42.83862498\pm \sqrt{42.83862498^2-4·4.9·26}}{9.8}\\&\\&t_1=8.086397768s\\&t_2=0.6561787586\end{align}$$El tiempo de 8.08 era el que calculamos antes, es cuando el proyectil ya ha pasado por su punto más alto e impacta cayendo hacia abajo.
Mientras que el tiempo
t2=0.6561787586
Se produce cuando el proyectil está subioendo todavia.
En ese tiempo la posición en el eje X sera
$$\begin{align}&x(t) = \frac {Vt}2\\&\\&x(0.6561787586) = \frac{49.46578333·0.6561787586}{2}=\\&\\&\\&16.22919815m\end{align}$$Luego se podría haber disparado desde
16.22919815m
Del blanco.
Aunque haya puesto muchos decimales no quiere decir que sean resultados exactos, es que tengo una deformación que me cuesta mucho redondear. Pero como uso g=9.8m/s^2 no hay exactitud muy buena.
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Y eso es todo.
Te dejo una imagen con la resolución del ejercicio porque el editor de fórmulas no es todo lo amigable que me gustaría...
