Tengo dudas en resolver un problema de límites y continuidad
El problema es el siguiente: Un urbanista de la ciudad determina un modelo matemático de la población (miles de personas) de la comunidad, en términos (o en función) del tiempo (años). Esta se expresa:
P(t)=40t/(t^2+10)- 50/(t+1) +70
Contestar lo siguiente:
1.- en el momento presente (cuando no ha transcurrido un solo año) ¿cuál es la población de la ciudad?
2.- Determine la población dentro de 5 años
3.- ¿qué población esperaría el urbanista en largo plazo?
Gracias por su ayuda
2 Respuestas
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En el momento presente se calcula susutituyendo t=0
$$\begin{align}&P(t)=\frac{40t}{t^2+10}- \frac{50}{t+1} +70\\&\\&P(0) =\frac{40·0}{0^2+10}- \frac{50}{0+1} +70=\\&\\&0-50+70 = 20\end{align}$$Como son miles de personas son 20000 personas
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2)
Dentro de 5 años se hace lo mismo pero sustituyendo t=5
$$\begin{align}&P(5)=\frac{40·5}{5^2+10}- \frac{50}{5+1} +70=\\&\\&\frac{200}{35}-\frac{50}{6}+70=\\&\\&\frac{40}{7}-\frac {50}6+70=\\&\\&\frac{240-350+2940}{42}=\frac{2830}{42}\approx 67.38095\end{align}$$Como son miles de persones son
67380.95 personas
Y el redondeo que hay que hacer es
67381 personas.
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3)
La población a largo plazo es el límite cuando x tiende a infinito de esa función.
Supongo que sabrás que tratándose de dos polinomios si el grado del denominador es mayor que el del numerador, entonces el límite es 0. Si no es así dímelo y hacemos el límite paso a paso.
Entonces al calcular el límite tendremos que los dos cocientes tienden a 0, con lo cual el límite es 70.
Luego la población a largo plazo es 70000 personas.
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Y eso es todo.
Muchas gracias por su información, le entendí muy bien a las 2 primeras respuestas, pero le agradecería mucho si me explica el procedimiento de los límites, ya que no entiendo por qué es cero. Gracias
Es una conclusión que se extrae fácilmente por la forma en que se calcula el límite, que si el grado del denominador es mayor que el del numerador el límite es 0. Esto te sirve para calcular límites de una forma mucho más rápida, con un simple golpe de vista. No obstante vamos a ver porque son cero esos límites.
$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\left(\frac{40t}{t^2+10}- \frac{50}{t+1} +70\right) =\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{40t}{t^2+10}- \lim_{t\to\infty} \frac{50}{t+1}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\text{En el 1º dividimos numerador y denominador por }t^2\\&\text{En el segungo por }t\\&\text{El 3º es una constante y ella es el límite}\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{40t}{t^2}}{\frac{t^2+10}{t^2}}- \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{50}{t}}{\frac{t+1}{t}}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{40}{t}}{1+\frac{10}{t^2}}- \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{50}{t}}{1+\frac{1}{t}}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\text{Y el límite de una constante entre }t\; o \;t^2\; \\&\text{cuando t tiende a infinito es 0}\\&\\&=\frac{0}{1+0}-\frac{0}{1+0}+ 70=\frac{0}{1}-\frac 01+70=\\&\\&0-0+70 = 70\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo.
1) El tiempo transcurrido es 0 entonces la respuesta es:
f(0)=40/10-50/1+70=24
2) el tiempo transcurrido es 5 por lo que la respuesta es:
f (5)=40/35-50/6+70=62.8 pero como hablamos de población lo redondeamos a 62
3) la población que se esperaría a largo plazo podemos considerala como el límite:
Limxt→inf de 40/xt2+10)-50/xt+1)+70
Aplicando el teorema: el límite de una suma es la suma de los límites concluimos que el límite anterior L es igual a 0+0+70
Por lo tanto la respuesta es 70