¿Determine la cantidad que permite obtener la utilidad máxima y demás dada las siguientes funciones matemáticas?
La función de demanda para uno de sus productos en una empresa, está dada por:
𝑝(𝑞) = 600 − 2𝑞
Y la función de costos correspondiente es:
𝐶(𝑞) = 0.2𝑞^2 + 28𝑞 + 200
- a) Determine la cantidad que permite obtener la utilidad máxima. (Utilice el concepto de que Umg = Img – Cmg.)
- b) Indique el ingreso que se tiene con esa cantidad vendida.
- c) Calcule los costos en los que incurre con dicha cantidad.
- d) Determine las cantidades de equilibrio para este producto.
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Jacobo!
·
1) Calculamos la función de ingresos. Estos serán el numero de unidades vendidas por el precio de cada una, luego
I(q) = q·p(q) = q(600-2q) = 600q - 2q^2
Usamos la fórmula que dicen, aunque bien se podría haber hecho de otra forma
Umg(q) = Img(q) - Cmg(q)
Los ingresos serán máximos cuando la utilidad marginal sea 0, luego
Img(q) - Cmg(q) =0
Img(q) = Cmg(q)
Img(q) es la derivada de los ingresos
Img(q) = I'(q) = 600-4q
Y Cmg es la derivada de los costos
Cmg(q) = 0.4q + 28
Igualando tenemos
600 - 4q = 0.4q + 28
572 = 4.4q
q = 572/4.4 = 130
Luego 130 unidades producidas es la cantidad que permite tener la máxima utilidad
·
2)
El ingreso obtenido con esas 130 unidades será
I(130) = 600·130 - 2·130^2 = 78000 - 33800 = 44200
·
3)
Y los costos con esa cantidad son
C(130) = 0.2·130^2 +28·130 + 200 = 3380 + 3640 + 200 = 7220
·
4)
Las cantidades de equilibrio son aquellas emn las que los ingresos son iguales a los gastos
600q - 2q^2 = 0.2q^2 +28q + 200
lo pasamos todo a la derecha y luego intercambiamos los lados
2.2q^2 - 572q +200 = 0
Y resolvemos la ecuación
$$\begin{align}&q=\frac{572\pm \sqrt{572^2-4·2.2·200}}{4.4}=\\&\\&\frac{572\pm 570.4594639 }{4.4}=\\&\\&q_1=0.35012184\\&q_2 =259.649878\end{align}$$·
Y eso es todo.
