Como explico si una lámina plana ocupa la región plana R ...

Diosa Lara!

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El centroide es el centro de gravedad, puesta la figura apoyada sobre él, encima de una aguja por ejemplo, quedaría en equilibrio. El momento de toda la figura, es decir el sumatorio de las masas de cada punto de la figura por los vectores distancia, daría el vector nulo. Entonces es muy intuitivo que si la figura es simétrica respecto de un eje el centroide esté en el, ya que a ambos lados del eje hay las mismas masas con la misma distancia al eje, luego queda en equilibrio en uno de esos puntos del eje.

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Pero creo que aquí querrán algo más matemático. Definir un dominio simétrico respecto a un eje cualquiera es algo bastante difícil, pero siempre podemos girar y trasladar la figura de modo que el eje que superpuesto al eje X. Entonces la simetria será sobre el eje X y eso se traduce en que para todo punto (x, y) del dominio, el punto (x,-y) también pertenece al dominio.

En concreto si tomamos este conjunto del dominio

C={(x,y) € D | y>=0}

y a partir de el formamos este

C' = {(x,-y) | (x,y) € C}

el dominio será

D = C U C'

Las fórmulas para calcular el centroide (suponiendo que la densidad sea constante en todo el dominio) son:

$$\begin{align}&x_c=\frac{\iint_Dx\;dx\,dy}{\iint dx\,dy}\\&\\&y_c=\frac{\iint_Dy\;dx\,dy}{\iint dx\,dy}\end{align}$$

En concreto nos interesa demostrar que yc=0 con lo cual el centroide estará en el eje Y que es la transformación que se ha hecho de la recta L.

Por simetria si f(x) y g(x) son las funciones que limitan por abajo y arriba a C, entonces -g(x) y -f(x) limitan por abajo y arriba a C'

La integral del numerador de la fórmula de yc la podemos dividir en dos partes, una sobre el dominio C y otra sobre C',

Sean tambíen x1 y x2 los límites en el eje X del dominio D que por simetria son los límites de C y C'

$$\begin{align}&\iint_Dy\;dy\,dx=\iint_Cy\;dy\,dx+\iint_{C'}y\;dy\,dx=\\&\\&\int_{x_1}^{x_2}\int_{f(x)}^{g(x)}y\;dy\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\int_{-g(x)}^{-f(x)}y\;dy\,dx=\\&\\&\left.\int_{x_1}^{x_2}x \frac{y^2}2\right|_{f(x)}^{g(x)}\,dx+\left.\int_{x_1}^{x_2}x \frac{y^2}2\right|_{-g(x)}^{-f(x)}\,dx=\\&\\&\int_{x_1}^{x_2} \frac x2[g(x)^2-f(x)^2]dx+\int_{x_1}^{x_2}\frac x2[f(x)^2-g(x^2)]dx=\\&\\&\int_{x_1}^{x_2}\frac x2[g(x)^2-f(x)^2+f(x)^2-g(x)^2]dx=\\&\\&\int_{x_1}^{x_2}\frac x2·0\;dx=\int_{x_1}^{x_2}0dx= 0\end{align}$$

Luego yc=0 y el centroide está sobre el eje X que es el eje de simetría.

Y eso es todo.